Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n (~
ej je j-t´
y vektor standardn´ı b´
aze T n).
Pozn´
amka 32. ˇ
R´
adnˇ
e si rozmyslete rozd´ıl mezi objekty oznaˇ
cen´
ymi ~
xi a ~x
#
i . Zat´
ımco ~
xi je vektor
z V , je ~
x
#
i
zobrazen´ı, kter´
e kaˇ
zd´
emu vektoru z V pˇ
riˇ
razuje ˇ
c´ıslo z T .
Pˇ
r´
ıklad 16. Uvaˇ
zujme prostor R
3 a v nˇem standardn´ı b´azi E = (
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
) a b´
azi
X = (
1
1
1
,
1
1
0
,
1
0
0
). Najdˇ
ete (~
x)E a (~x)X , je-li ~x =
3
5
3
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
1. Jelikoˇ
z
3
5
3
= 3
1
0
0
+ 5
0
1
0
+ 3
0
0
1
, dost´
av´
ame, ˇ
ze (~
x)E =
3
5
3
= ~
x.
Rozmyslete si, ˇ
ze pro libovoln´
y vektor ~
x ∈ T n plat´
ı (~
x)E = ~x.
2. Oznaˇ
cme (~
x)X =
α1
α2
α3
, pak α1
1
1
1
+ α2
1
1
0
+ α3
1
0
0
= ~
x =
3
5
3
. M´
ame
tedy soustavu LAR s rozˇ
s´ıˇ
renou matic´ı soustavy
1
1
1
3
1
1
0
5
1
0
0
3
∼
1
0
0
3
0
1
1
0
0
1
0
2
∼
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
−2
.
Z matice v horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru vyˇ
cteme α3 = −2, α2 = 2, α1 = 3, tj. (~x)X =
3
2
−2
.
24
4
Podprostory
Definice 13. Necht’ V je vektorov´
y prostor nad tˇ
elesem T . Pak P nazveme podprostorem V
a znaˇ
c´ıme P ⊂⊂ V , pokud
1. P ⊂ V ,
2. P 6= ∅,
3. pro kaˇ
zd´
e dva vektory ~
x, ~
y ∈ P plat´ı ~
x + ~
y ∈ P (ˇ
r´ık´
ame, ˇ
ze mnoˇ
zina P je uzavˇ
ren´
a na
sˇ
c´
ıt´
an´
ı),
4. pro kaˇ
zd´
e α ∈ T a kaˇ
zd´
y vektor ~
x ∈ P plat´ı α~
x ∈ P (ˇ
r´ık´
ame, ˇ
ze mnoˇ
zina P je uzavˇ
ren´
a
na n´
asoben´
ı ˇ
c´
ıslem z tˇ
elesa).
Pˇ
r´
ıklad 17. Necht’ (~
x1, . . . , ~xn) je soubor vektor˚
u z vektorov´
eho prostoru V nad tˇ
elesem T . Pak
[~
x1, . . . , ~xn]λ ⊂⊂ V . Splnˇen´ı vlastnost´ı 1. aˇz 4. z definice podprostoru pro LO plyne z Vˇety 3
o vlastnostech LO.
Pˇ
r´
ıklad 18. V R
2 m´ame n´asleduj´ıc´ı typy podprostor˚