Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

z 4. z definice podprostoru je zˇ

rejm´

e.

3. Mus´ıme ovˇ

eˇ

rit, ˇ

ze P 6= ∅ a ˇ

ze P je mnoˇ

zina uzavˇ

ren´

a na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u a n´

asoben´ı vektoru

ˇ

c´ıslem a ˇ

ze plat´ı axiomy. Nepr´

azdnost a uzavˇ

renost na operace plyne z faktu, ˇ

ze P ⊂⊂ V .

Zb´

yv´

a ovˇ

eˇ

rit axiomy.

• V P existuje nulov´

y vektor, jde o nulov´

y vektor z V . (Patˇ

r´ı do P podle 1. bodu.)

• Ke kaˇzd´

emu vektoru ~

x ∈ P , existuje ve V opaˇ

cn´

y vektor −~

x. Podle Vˇ

ety 1 je −~

x =

(−1)~

x, a tedy d´ıky uzavˇ

renosti P na n´

asoben´ı patˇ

r´ı −~

x do P .

• Vˇsechny ostatn´ı axiomy plat´ı pro vˇsechny vektory z V , t´ım sp´ıˇse plat´ı i pro vˇsechny

vektory z P ⊂ V .

4. Ovˇ

eˇ

r´ıme vlastnosti z definice podprostoru:

(a) Q ⊂ V , protoˇ

ze Q ⊂ P ⊂ V ,

(b) Q 6= ∅, protoˇ

ze Q ⊂⊂ P ,

(c) Q je mnoˇ

zina uzavˇ

ren´

a na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u, protoˇ

ze Q ⊂⊂ P ,

(d) Q je mnoˇ

zina uzavˇ

ren´

a na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem, protoˇ

ze Q ⊂⊂ P .

5. Je-li dim V = +∞, pak je tvrzen´ı zˇ

rejm´

e. Je-li V = {~0}, pak P = {~0}, tvrzen´ı tedy opˇ

et

plat´ı. Z dim V = n plyne, ˇ

ze kaˇ

zd´

y LN soubor ve V je maxim´

alnˇ

e n-ˇ

clenn´

y, tedy i b´

aze P

je maxim´

alnˇ

e n-ˇ

clenn´

a, proto dim P ≤ n.

6. Pro V = {~0} je tvrzen´ı zˇ

rejm´

e. Pro V 6= {~0} oznaˇ

cme dim P = dim V = n ∈ N. Jelikoˇz

dim P = n, existuje v P n-ˇ

clenn´

a b´

aze (~

x1, . . . , ~xn), tj. [~x1, . . . , ~xn]λ = P . Prostor V m´

a

dimenzi rovnu n, a tak kaˇ

zd´

y n-ˇ

clenn´

y LN soubor ve V je b´