Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ze dokonce pr˚

unik libovoln´

eho poˇ

ctu podprostor˚

u a souˇ

cet

koneˇ

cn´

eho poˇ

ctu podprostor˚

u vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T tvoˇ

r´ı podprostor.

Pozn´

amka 35. Necht’ P, Q ⊂⊂ V , kde V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . Moˇ

zn´

a by v´

as

napadlo, ˇ

ze zaj´ım´

ame-li se o P ∩ Q, bylo by logick´

e zkoumat tak´

e P ∪ Q, ovˇ

sem P ∪ Q nemus´ı

tvoˇ

rit podprostor. Napˇ

r´ıklad pro V = R

2 a P = [( 1

0 )]λ a Q = [(

0

1 )]λ jsou jistˇ

e P, Q ⊂⊂ V , ale

vektor ( 1

0 ) + (

0

1 ) = (

1

1 ) 6∈ P ∪ Q, pˇ

restoˇ

ze jde o souˇ

cet dvou vektor˚

u z P ∪ Q.

Pozn´

amka 36. Necht’ P, Q ⊂⊂ V , kde V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . M´ısto sjednocen´ı

tedy zkoum´

ame P + Q. Ukaˇ

zme, ˇ

ze jde o nejmenˇ

s´ı podprostor, kter´

y obsahuje P ∪ Q. Skuteˇ

cnˇ

e

kaˇ

zd´

y vektor z ~

p ∈ P je roven ~

p + ~0, a tedy patˇ

r´ı do P + Q. Podobnˇ

e kaˇ

zd´

y vektor ~

q ∈ Q je roven

~0 + ~q, a tedy je z P + Q. To znamen´a, ˇze P ∪ Q ⊂ P + Q. A ˇze je P + Q nejmenˇs´ı takov´y podprostor

plyne z faktu, ˇ

ze kaˇ

zd´

y podprostor obsahuj´ıc´ı vˇ

sechny vektory z P i vˇ

sechny vektory z Q obsahuje

tak´

e vˇ

sechny jejich souˇ

cty, tedy obsahuje P + Q.

Pozn´

amka 37. Ujasnˇ

eme, jak vypad´

a P + Q, pokud jsou P i Q zad´

any jako LO. Necht’ V je

vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T , necht’ (~

x1, . . . , ~xn) a (~

y1, . . . , ~

ym) jsou soubory z V . Je-li P =

[~

x1, . . . , ~xn]λ a Q = [~

y1, . . . , ~

ym]λ, pak P + Q = [~x1, . . . , ~xn, ~