Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

Pokud podprostory splˇ

nuj´ı P ⊕ Q = V , pak Q nazveme doplnˇ

ek P do V a jeho dimenzi dim Q

znaˇ

c´ıme codim P a naz´

yv´

ame kodimenze P .

30

Pozn´

amka 39. Vˇ

simnˇ

eme si, ˇ

ze podle 1. vˇ

ety o dimenzi je kodimenze P dobˇ

re definov´

ana. I

kdyby doplˇ

nk˚

u existovalo v´ıce, pro kodimenzi P plat´ı: dim P + codim P = dim V + dim (P ∩ Q)

a P ∩ Q = {~0}, coˇ

z plyne z direktnosti souˇ

ctu P ⊕ Q = V . Proto codim P = dim V − dim P , a

nez´

avis´ı tedy na volbˇ

e doplˇ

nku P do V .

Vˇ

eta 14 (Existence doplˇ

nku). Necht’ V je vektorov´

y prostor koneˇ

cn´

e dimenze nad tˇ

elesem T a

necht’ P ⊂⊂ V . Pak doplnˇ

ek P do V existuje.

D˚

ukaz.

• Necht’ P = {~0}, pak Q = V splˇ

nuje evidentnˇ

e vlastnosti doplˇ

nku.

• Necht’ P = V , pak Q = {~0} splˇ

nuje evidentnˇ

e vlastnosti doplˇ

nku.

• Necht’ P je vlastn´ı a nenulov´

y podprostor V a oznaˇ

cme k = dim P . Pak existuje (~

x1, ~x2, . . . , ~xk)

b´

aze P . Doplˇ

nme ji vektory ~

xk+1, . . . , ~xn na b´

azi (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) V . Pak Q = [~xk+1, . . . , ~xn]λ

je hledan´

y doplnˇ

ek. Uk´

aˇ

zeme:

1. P + Q = V , tj. uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ V existuje ~

p ∈ P a ~

q ∈ Q takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~

p + ~

q.

Jistˇ

e existuj´ı α1, α2, . . . , αn ∈ T tak, ˇze ~x =

Pn

i=1 αi~

xi =

Pk

i=1 αi~

xi +

Pn

i=k+1 αi~

xi a

hledan´

ymi vektory jsou ~

p =

Pk

i=1 αi~

xi a ~

q =

Pn

i=k+1 αi~

xi.

2. P ⊕ Q = V , tj. staˇ

c´ı uk´

azat, ˇ

ze P ∩ Q = {~0}. Je-li ~

x ∈ P ∩ Q, pak patˇ

r´ı do P , proto