Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ym tˇ

elesem T . Pak mnoˇ

zina L(P, Q) s

operacemi sˇ

c´ıt´

an´ı zobrazen´ı a n´

asoben´ı zobrazen´ı ˇ

c´ıslem z tˇ

elesa definovan´

ymi v´

yˇ

se tvoˇ

r´ı vektorov´

y

prostor nad T .

D˚

ukaz. Je tˇ

reba ovˇ

eˇ

rit:

1. Nepr´

azdnost L(P, Q):

L(P, Q) obsahuje nulov´e zobrazen´ı Θ, kter´

e kaˇ

zd´

emu vektoru z P pˇ

riˇ

razuje nulov´

y vektor z

Q. Θ je line´

arn´ı, protoˇ

ze

(a) pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ P plat´ı Θ(~

x + ~

y) = ~0Q = ~0Q + ~0Q = Θ~x + Θ~

y,

(b) pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P plat´ı Θ(α~

x) = ~0Q = α~0Q = αΘ~x.

2. Uzavˇ

renost na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u:

Pro kaˇ

zd´

e A, B ∈ L(P, Q) ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze A + B je line´

arn´ı zobrazen´ı.

(a) Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ P plat´ı

(A+B)(~

x+~

y) = A(~

x+~

y)+B(~

x+~

y) = (A~

x+A~

y)+(B~

x+B~

y) = (A~

x+B~

x)+(A~

y+B~

y) = (A+B)~

x+(A+B)~

y,

kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇ

zita definice souˇ

ctu zobrazen´ı A + B a ve druh´

e

rovnosti aditivita zobrazen´ı A a B a ve tˇ

ret´ı rovnosti vlastnosti vektorov´

eho prostoru

Q.

(b) Pro kaˇ

zd´

e β ∈ T a ~

x ∈ P plat´ı

(A + B)(β~

x) = A(β~

x) + B(β~

x) = βA~

x + βB~

x = β(A~

x + B~

x) = β(A + B)~

x,

kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇ

zita definice souˇ

ctu zobrazen´ı A + B a ve druh´

e

rovnosti homogenita zobrazen´ı A a B a ve tˇ

ret´ı rovnosti vlastnosti vektorov´

eho prostoru

Q.

3. Uzavˇ

renost na n´

asoben´ı vektor˚

u ˇ

c´ıslem:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a A ∈ L(P, Q) ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze αA je line´

arn´ı zobrazen´ı.

(a) Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ P plat´ı

(αA)(~

x + ~

y) = αA(~

x + ~

y) = α(A~

x + A~

y) = αA~

x + αA~

y = (αA)~

x + (αA)~

y,