Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ety 10 o vlastnostech souˇ

radnicov´

eho

funkcion´

alu plyne linearita souˇ

radnicov´

eho izomorfismu. Zb´

yv´

a tedy dok´

azat, ˇ

ze (.)X : V → T

n je

prost´

e a

”

na“.

• Prostota:

Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ V plat´ı, ˇ

ze je-li (~

x)X = (~

y)X a oznaˇc´ıme-li (~x)X =

α1

α2

..

.

αn

, pak z definice

souˇ

radnicov´

eho izomorfismu m´

ame ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi = ~

y.

•

”

na“ T n:

Necht’

α1

α2

..

.

αn

∈ T n, pak pro ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi ∈ V plat´ı (~x)X =

α1

α2

..

.

αn

.

Vˇ

eta 16 (Linearita inverzn´ıho zobrazen´ı). Necht’ A ∈ L(P, Q) je izomorfn´ı, pak A−1 existuje a

je tak´

e izomorfn´ı.

D˚

ukaz. Jelikoˇ

z A je prost´

e zobrazen´ı s definiˇ

cn´ım oborem P a oborem hodnot Q, v´ıme z ma-

tematick´

e anal´

yzy, ˇ

ze A−1 existuje, m´

a definiˇ

cn´ı obor Q a obor hodnot P . Zb´

yv´

a ovˇ

eˇ

rit, ˇ

ze

A−1 ∈ L(Q, P ).

• Aditivita A−1:

Pro kaˇ

zd´

e ~

y1, ~

y2 ∈ Q ovˇeˇr´ıme, ˇze A

−1(~y

1 + ~

y2) = A

−1~y

1 + A

−1~y

2. Oznaˇ

cme ~

x1 = A

−1~y

1 a

~

x2 = A

−1~y

1. Pak z definice inverzn´

ıho zobrazen´ı v´ıme, ˇ

ze ~

y1 = A~x1 a ~

y2 = A~x2. Z aditivity

A m´

ame ~

y1 + ~

y2 = A~x1 + A~x2 = A(~x1 + ~x2). Opˇet z definice inverzn´ıho zobrazen´ı dost´

av´

ame

A−1(~

y1 + ~

y2) = ~x1 + ~x2 = A

−1~y

1 + A

−1~y

2.

• Homogenita A−1:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~

y ∈ Q ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze A−1(α~

y) = αA−1~

y. Oznaˇ

cme ~

x = A−1~

y, pak z

definice inverzn´ıho zobrazen´ı v´ıme, ˇ

ze ~

y = A~

x. Z homogenity A m´

ame α~

y = αA~

x = A(α~

x).

Opˇ

et z definice inverzn´ıho zobrazen´ı dost´

av´

ame A−1(α~

y) = α~

x = αA−1~

y.

Vˇ

eta 17 (Linearita sloˇ

zen´

eho zobrazen´ı). Necht’ P, Q, V jsou vektorov´

e prostory nad stejn´