Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

α1

α2 ) ∈

R

2 definujeme ϕ ( α1

α2 ) = α

2

1 + α

2

2.

Pak ϕ nen´ı prost´

y - napˇ

r´ıklad ϕ ( 1

0 ) = ϕ (

0

1 ) a z´

aroveˇ

n {(

α1

α2 ) ∈

R

2 

ϕ (

α1

α2 ) = 0} = {(

0

0 )}. Podle

vˇ

ety o prostotˇ

e a j´

adru line´

arn´ıho zobrazen´ı je jasn´

e, ˇ

ze ϕ nen´ı line´

arn´ı. Jin´

ymi slovy: pˇ

redpoklad

linearity zobrazen´ı A v pˇ

redchoz´ı vˇ

etˇ

e je nezbytn´

y!

Vˇ

eta 21 (Nerovnosti pro hodnost). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T a necht’

A ∈ L(P, Q). Pak h(A) ≤ dim Q a h(A) ≤ dim P .

D˚

ukaz.

• Jelikoˇ

z A(P ) ⊂⊂ Q, je jasn´

e, ˇ

ze h(A) = dim A(P ) ≤ dim Q.

• Pro P = {~0}, je h(A) = dim A(P ) = 0, a tedy h(A) ≤ dim P . Pro P 6= {~0} oznaˇ

cme

(~

x1, . . . , ~xn) b´

azi P , tedy dim P = n ∈ N. Pak

A(P ) = A([~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ) = [A~x1, A~x2, . . . , A~xn]λ,

odkud plyne, ˇ

ze h(A) = dim A(P ) ≤ n = dim P .

Vˇ

eta 22 (Hodnost sloˇ

zen´

eho zobrazen´ı). Necht’ P, Q, V jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T a

necht’ B ∈ L(P, Q) a A ∈ L(Q, V ). Pak

• h(AB) ≤ h(A), a je-li B izomorfn´ı, pak plat´ı h(AB) = h(A),

• h(AB) ≤ h(B), a je-li A izomorfn´ı, pak plat´ı h(AB) = h(B).

38

D˚

ukaz.

• h(AB) = dim A(B(P )), protoˇ

ze B(P ) ⊂⊂ Q, plat´ı, ˇ

ze A(B(P )) ⊂⊂ A(Q). Proto

h(AB) ≤ dim A(Q) = h(A). Vˇ

simnˇ

eme si, ˇ

ze je-li B

”

na“ Q, tj. B(P ) = Q, pak plat´ı

rovnost. Tedy ve vˇ

etˇ

e staˇ

cilo dokonce pˇ

redpokl´

adat B epimorfn´ı.

• Je-li h(B) = 0, pak h(AB) = 0 a nerovnost plat´ı. Pokud h(B) = n, oznaˇ