Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

avˇ

e kdyˇ

z A je monomorfn´ı

nebo A je epimorfn´ı.

D˚

ukaz. Implikace (⇒) je zˇ

rejm´

a. Ovˇ

eˇ

rujeme tedy pouze (⇐):

• Je-li A monomorfn´ı, pak d(A) = 0 a z 2. vˇ

ety o dimenzi plyne, ˇ

ze h(A) = dim P . Protoˇ

ze

dim P = dim Q, m´

ame h(A) = dim A(P ) = dim Q a z´

aroveˇ

n A(P ) ⊂⊂ Q. Podle Vˇ

ety 11 o

vlastnostech podprostor˚

u plat´ı A(P ) = Q, coˇ

z znamen´

a, ˇ

ze A je

”

na“ Q.

• Je-li A epimorfn´ı, pak A(P ) = Q, tedy h(A) = dim Q. Protoˇ

ze dim Q = dim P , dost´

av´

ame

z 2. vˇ

ety o dimenzi, ˇ

ze d(A) = 0, tedy kerA = {~0P } a A je prost´e.

Pozn´

amka 51. Speci´

alnˇ

e pro line´

arn´ı oper´

atory A ∈ L(P ) pˇ

redchoz´ı vˇ

eta ˇ

r´ık´

a, ˇ

ze jsou-li prost´

e,

pak uˇ

z jsou automaticky

”

na“ P , a jsou-li

”

na“ P , pak jsou automaticky prost´

e.

42

6

Matice a line´

arn´ı zobrazen´ı

Jiˇ

z zn´

ame T m,n vektorov´

y prostor matic s prvky z tˇ

elesa T o m ˇ

r´

adc´ıch a n sloupc´ıch. V´ıme, ˇ

ze

sˇ

c´ıt´

an´ı matic a n´

asoben´ı matice ˇ

c´ıslem z T je definov´

ano po prvc´ıch. Nyn´ı zavedeme dalˇ

s´ı operaci

- n´

asoben´ı matic.

Definice 24. Necht’ A je matice typu m × n a B typu n × p s prvky z T . Pak souˇ

cinem A a B

nazveme matici typu m × p, znaˇ

c´ıme ji AB, definovanou

[AB]ij =

n

X

k=1

AikBkj

pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

m, j ∈ ˆ

p.

Pˇ

r´

ıklad 35. Necht’ A =

3 1 0

2

3

4

a B =

2

0

3

4

0

1

. Pak AB =

 9

4

13

16

a BA =

6

2

0

17

15

16

2

3

4

.

Vˇ

eta 28 (Vlastnosti n´

asoben´ı matic). N´

asoben´ı matic

1. je asociativn´ı, tj. necht’ A je matice typu m × n, B typu n × p a C typu p × s s prvky z T ,