Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
avˇ
e kdyˇ
z A je monomorfn´ı
nebo A je epimorfn´ı.
D˚
ukaz. Implikace (⇒) je zˇ
rejm´
a. Ovˇ
eˇ
rujeme tedy pouze (⇐):
• Je-li A monomorfn´ı, pak d(A) = 0 a z 2. vˇ
ety o dimenzi plyne, ˇ
ze h(A) = dim P . Protoˇ
ze
dim P = dim Q, m´
ame h(A) = dim A(P ) = dim Q a z´
aroveˇ
n A(P ) ⊂⊂ Q. Podle Vˇ
ety 11 o
vlastnostech podprostor˚
u plat´ı A(P ) = Q, coˇ
z znamen´
a, ˇ
ze A je
”
na“ Q.
• Je-li A epimorfn´ı, pak A(P ) = Q, tedy h(A) = dim Q. Protoˇ
ze dim Q = dim P , dost´
av´
ame
z 2. vˇ
ety o dimenzi, ˇ
ze d(A) = 0, tedy kerA = {~0P } a A je prost´e.
Pozn´
amka 51. Speci´
alnˇ
e pro line´
arn´ı oper´
atory A ∈ L(P ) pˇ
redchoz´ı vˇ
eta ˇ
r´ık´
a, ˇ
ze jsou-li prost´
e,
pak uˇ
z jsou automaticky
”
na“ P , a jsou-li
”
na“ P , pak jsou automaticky prost´
e.
42
6
Matice a line´
arn´ı zobrazen´ı
Jiˇ
z zn´
ame T m,n vektorov´
y prostor matic s prvky z tˇ
elesa T o m ˇ
r´
adc´ıch a n sloupc´ıch. V´ıme, ˇ
ze
sˇ
c´ıt´
an´ı matic a n´
asoben´ı matice ˇ
c´ıslem z T je definov´
ano po prvc´ıch. Nyn´ı zavedeme dalˇ
s´ı operaci
- n´
asoben´ı matic.
Definice 24. Necht’ A je matice typu m × n a B typu n × p s prvky z T . Pak souˇ
cinem A a B
nazveme matici typu m × p, znaˇ
c´ıme ji AB, definovanou
[AB]ij =
n
X
k=1
AikBkj
pro kaˇ
zd´
e i ∈ ˆ
m, j ∈ ˆ
p.
Pˇ
r´
ıklad 35. Necht’ A =
3 1 0
2
3
4
a B =
2
0
3
4
0
1
. Pak AB =
9
4
13
16
a BA =
6
2
0
17
15
16
2
3
4
.
Vˇ
eta 28 (Vlastnosti n´
asoben´ı matic). N´
asoben´ı matic
1. je asociativn´ı, tj. necht’ A je matice typu m × n, B typu n × p a C typu p × s s prvky z T ,