Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

aze Pn a Y je b´

aze Qm.

Necht’ α ∈ T . Pak plat´ı:

1. X(A + B)Y =X AY +X BY ,

2. X(αA)Y = αXAY .

D˚

ukaz.

1. Porovn´

ame j-t´

e sloupce matic pro kaˇ

zd´

e j ∈ ˆ

n.

[

X(A+B)Y]•j = ((A + B)~xj)

Y = (A~

xj + B~xj)

Y = (A~

xj)Y +(B~xj)Y = [

XAY]•j+[XBY]•j = [XAY+XBY]•j.

Ve druh´

e rovnosti jsme uˇ

zili definici souˇ

ctu zobrazen´ı, ve tˇ

ret´ı aditivity souˇ

radnicov´

eho

izormorfismu v b´

azi Y, v posledn´ı definici sˇ

c´ıt´

an´ı matic a v prvn´ı a pˇ

redposledn´ı rovnosti

definici matice zobrazen´ı.

2. Porovn´

ame j-t´

e sloupce matic pro kaˇ

zd´

e j ∈ ˆ

n.

[

X(αA)Y]•j = ((αA)~xj)

Y = (α(A~

xj))

Y = α(A~

xj)Y = α[

XAY]•j = [αXAY]•j.

Ve druh´

e rovnosti jsme uˇ

zili definici n´

asoben´ı zobrazen´ıˇ

c´ıslem, ve tˇ

ret´ı homogenity souˇ

radnicov´

eho

izormorfismu v b´

azi Y, v posledn´ı definici n´

asoben´ı matice ˇ

c´ıslem a v prvn´ı a pˇ

redposledn´ı

rovnosti definici matice zobrazen´ı.

44

Vˇ

eta 30 (V´

ypoˇ

cet obrazu vektoru pomoc´ı matice v b´

az´ıch). Necht’ Pn, Qm jsou vektorov´e prostory

nad tˇ

elesem T . Necht’ A ∈ L(Pn, Qm) a necht’ X je b´

aze Pn a Y je b´

aze Qm. Necht’ ~x ∈ Pn. Pak

plat´ı (A~

x)Y =

X AY (~x)X .

D˚

ukaz. (A~

x)Y je vektor z T

m a XAY (~x)X je souˇcin matic typu m × n a n × 1, jde tedy o matici z

T m,1 = T m. Rozmˇ

ery jsou tedy shodn´

e.

Oznaˇ

cme (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) b´

azi X a (~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

. Pak

(A~

x)Y = (A(α1~x1+α2~x2+· · ·+αn~xn))Y = (α1A~x1+α2A~x2+· · ·+αnA~xn)Y = α1(A~x1)Y +α2(A~x2)Y +· · ·+αn(A~xn)Y .

Ve druh´

e rovnosti jsme vyuˇ

zili linearity A a ve tˇ

ret´ı rovnosti linearity souˇ

radnicov´

eho izomorfismu

v b´

azi Y. Nyn´ı uˇ

z staˇ

c´ı si rozmyslet podle definice n´