Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

asoben´ı matic, ˇ

ze

α1(A~x1)Y + α2(A~x2)Y + · · · + αn(A~xn)Y = ((A~x1)Y , (A~x2)Y , . . . , (A~xn)Y )

α1

α2

..

.

αn

=

X AY(~x)X .

Pozn´

amka 55. Vˇ

eta 30 o v´

ypoˇ

ctu obrazu vektoru pomoc´ı matice v b´

az´ıch umoˇ

zˇ

nuje pˇ

reformulovat

´

ulohu ˇ

reˇ

sit rovnici A~

x = ~b na ˇ

reˇ

sen´ı soustavy LAR.

Necht’ Pn, Qm jsou vektorov´e prostory nad tˇelesem T . Necht’ A ∈ L(Pn, Qm) a necht’ X je b´

aze

Pn a Y je b´

aze Qm. D´

ale necht’ ~b ∈ A(Pn) a necht’ je zad´

ana matice zobrazen´ı XAY . Z Vˇ

ety 24 o

ˇ

reˇ

sen´ı rovnice A~

x = ~b v´ıme, ˇ

ze ˇ

reˇ

sen´ı A~

x = ~b m´

a tvar ~a + kerA, kde ~a je partikul´

arn´ı ˇ

reˇ

sen´ı.

1. kerA: Z hodnosti h(A), kterou um´ıme z matice XAY urˇ

cit, spoˇ

c´ıt´

ame defekt d(A) a pot´

e

najdeme b´

azi j´

adra n´

asleduj´ıc´ım zp˚

usobem:

A~

x = ~0 ⇔ (A~

x)Y = (~0)Y ,

jelikoˇ

z (A~

x)Y =

X AY (~x)X , staˇc´ı naj´ıt d(A) LN ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s matic´ı XAY.

T´ım z´ısk´

ame souˇ

radnice bazick´

ych vektor˚

u z j´

adra v b´

azi X .

2. Partikul´

arn´ı ˇ

reˇ

sen´ı ~a:

A~a = ~b ⇔ (A~a)Y = (~b)Y ,

jelikoˇ

z (A~a)Y =

X AY (~a)X , najdeme (~a)X tak, ˇze urˇc´ıme jedno ˇreˇsen´ı soustavy LAR s matic´ı

XAY a pravou stranou (~b)Y.

Pˇ

r´

ıklad 36. Necht’ X = (

1
1
1

,

−1

0
1

,

1

−1

0

) je b´

aze R

3 a A ∈ L(R3) m´a matici

v b´

azi X rovnu XA =

1

1

−1

0

1

1

1

−1

−3

, kde XA je kratˇ

s´ı z´

apis XAX . Najdˇ

ete vˇ

sechna ˇ

reˇ

sen´ı

A~

x =

1
2
3

.

1. kerA: Z matice XA vid´ıme, ˇ

ze

(A

1
1
1

)X =

1
0
1

, (A

−1

0
1

)X =

1
1

−1

, (A

1

−1

0

)X =

−1

1

−3

,

45

proto

A

1
1
1

=

2
0
1

, A

−1

0
1

=

−1

2
2

, A

1

−1

0

=

−5

2
0

.

h(A) = dim A(R

3) = dim A([

1
1
1

,

−1

0
1

,

1

−1

0

]λ) = dim [A