Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
pak (AB)C = A(BC),
2. je distributivn´ı, tj. necht’ A je matice typu m × n, B a C typu n × p s prvky z T , pak
A(B + C) = AB + AC,
3. nen´ı obecnˇ
e komutativn´ı, ani kdyˇ
z n´
asob´ıme ˇ
ctvercov´
e matice, tj. existuj´ı ˇ
ctvercov´
e matice A
a B s prvky z T takov´e, ˇze AB 6= BA.
D˚
ukaz.
1. Zkontrolujme nejprve podle definice n´
asoben´ı matic rozmˇ
ery matic. Matice AB je
typu m × p. Proto matice (AB)C je typu m × s. Jelikoˇz BC je typu n × s, je A(BC) typu
m × s.
Nyn´ı staˇ
c´ı uk´
azat, ˇ
ze pro kaˇ
zd´
e i ∈ ˆ
m a j ∈ ˆ
s plat´ı [(AB)C]ij = [A(BC)]ij. Podle definice
n´
asoben´ı matic a prac´ı se sumami dostaneme n´
asleduj´ıc´ı rovnosti:
[(AB)C]ij =
p
X
k=1
[AB]ik[C]kj =
p
X
k=1
n
X
`=1
[A]i`[B]`k
!
[C]kj =
p
X
k=1
n
X
`=1
[A]i`[B]`k[C]kj
!
=
=
n
X
`=1
p
X
k=1
[A]i`[B]`k[C]kj
!
=
n
X
`=1
[A]i`
p
X
k=1
[B]`k[C]kj =
n
X
`=1
[A]i`[BC]`j = [A(BC)]ij.
Ve tˇ
ret´ı rovnosti jsme rozn´
asobili vnitˇ
rn´ı sumu, ve ˇ
ctvrt´
e rovnosti jsme zamˇ
enili sumy a v
p´
at´
e rovnosti jsme vyt´
ykali z vnitˇ
rn´ı sumy.
2. Zkontrolujme nejprve podle definice n´
asoben´ı matic rozmˇ
ery matic. Matice B + C je typu
n × p, proto A(B + C) je typu m × p. Matice AB i AC jsou typu m × p, proto jejich souˇcet
AB + AC je tak´
e typu m × p.
Nyn´ı staˇ
c´ı ovˇ
eˇ
rit, ˇ
ze pro kaˇ
zd´
e i ∈ ˆ
m a j ∈ ˆ
p plat´ı [A(B + C)]ij = [AB + AC]ij. Podle definice
n´
asoben´ı a sˇ
c´ıt´
an´ı matic dostaneme n´
asleduj´ıc´ı rovnosti:
[A(B + C)]ij =
n
X
k=1
[A]ik[B + C]kj =
n
X
k=1
[A]ik([B]kj + [C]kj) =
=
n
X
k=1
[A]ik[B]kj +
n
X
k=1
[A]ik[C]kj = [AB]ij + [AC]ij = [AB + AC]ij.
43
3. Je-li A typu m × n a B typu n × p, pak AB je typu m × p. Aby BA existovala, mus´ı b´yt