Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

m = p, rozmˇ

er BA je pak n×n. Aby AB a BA mˇely stejn´y rozmˇer, mus´ı b´yt tedy m = p = n,

neboli A a B mus´ı b´yt ˇctvercov´e matice stejn´eho typu.

Ani tehdy ale nemus´ı rovnost platit. Napˇ

r´ıklad pro A = (

1 1

1 0 ) a B = (

0 1

1 0 ) je AB = (

1 1

0 1 )

a BA = (

1 0

1 1 ).

Pozn´

amka 52. Pˇ

ri znalosti n´

asoben´ı matic lze soustavu m line´

arn´ıch algebraick´

ych rovnic pro n

nezn´

am´

ych x1, x2, . . . , xn

a11x1

+

a12x2

+

. . .

+

a1nxn

=

b1

a21x1

+

a22x2

+

. . .

+

a2nxn

=

b2

..

.

..

.

. .

.

..

.

..

.

am1x1

+

am2x2

+

. . .

+

amnxn

=

bm

zapsat maticov´

ym (vektorov´

ym) z´

apisem jako A~x = ~b, kde

A =

a11 a12 ...

a1n

a21 a22 ...

a2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

am1 am2 ... amn

, ~

x =

x1

x2

..

.

xn

, ~b =

b1
b2

..

.

bm

.

Definice 25. Necht’ Pn, Qm jsou vektorov´e prostory nad tˇelesem T (indexy znaˇc´ı dimenzi). Necht’
A ∈ L(Pn, Qm) a necht’ X = (~x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´

aze Pn a Y je b´

aze Qm. Pak matici

XAY typu

m × n, jej´ıˇ

z j-t´

y sloupec je definov´

an jako [XAY ]•j = (A~xj)Y , naz´

yv´

ame matice zobrazen´

ı A v

b´

az´

ıch X a Y.

Pozn´

amka 53. Oznaˇ

cme (~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym) b´

azi Y, pak lze popsat prvky matice pomoc´ı souˇ

radnicov´

ych

funkcion´

al˚

u v b´

azi Y. Pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

m a j ∈ ˆ

n plat´ı

[

XAY]

ij = ~

y

#

i (A~

xj).

Pozn´

amka 54. Chceme-li zapsat XAY nar´

az jako matici, m˚

uˇ

zeme ps´

at XAY = ((A~

x1)Y , (A~x2)Y , . . . , (A~xn)Y ),

kde ˇ

c´

arkami oddˇ

elujeme jednotliv´

e sloupce matice.

Vˇ

eta 29 (Vlastnosti matice zobrazen´ı v b´

az´ıch). Necht’ Pn, Qm jsou vektorov´e prostory nad

tˇ

elesem T . Necht’ A, B ∈ L(Pn, Qm) a necht’ X = (~x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´