Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

1
1
1

, A

−1

0
1

, A

1

−1

0

]λ =

dim [

2
0
1

,

−1

2
2

,

−5

2
0

]λ = 2, proto d(A) = 1.

A~

x = ~0 ⇔ (A~

x)X = (~0)X =

0
0
0

,

jelikoˇ

z (A~

x)X =

X A(~x)X , staˇc´ı naj´ıt 1 LN ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s matic´ı XA =

1

1

−1

0

1

1

1

−1

−3

.

Takov´

ym ˇ

reˇ

sen´ım je napˇ

r. (~

x)X =

2

−1

1

. Odtud m´

ame kerA = [

4
1
1

]λ.

2. Partikul´

arn´ı ˇ

reˇ

sen´ı ~a:

A~a =

1
2
3

⇔ (A~a)X = (

1
2
3

)X ,

jelikoˇ

z (A~a)X =

X A(~a)X , najdeme (~a)X tak, ˇze urˇc´ıme jedno ˇreˇsen´ı soustavy LAR s matic´ı

XA a pravou stranou (

1
2
3

)X =

2
1
0

. Takov´

ym ˇ

reˇ

sen´ım je napˇ

r. (~a)X =

1
1
0

, tedy

~a =

0
1
2

.

Z´

avˇ

er: A−1(

1
2
3

) =

0
1
2

+ [

4
1
1

]λ.

Vˇ

eta 31 (Matice sloˇ

zen´

eho zobrazen´ı). Necht’ Pn, Qm, Vs jsou vektorov´e prostory nad tˇelesem T .

Necht’ A ∈ L(Qm, Vs) a B ∈ L(Pn, Qm). Necht’ X je b´

aze Pn, Y je b´

aze Qm a Z je b´

aze Vs. Pak

X(AB)Z =YAZ XBY.

D˚

ukaz. Zkontrolujme nejprve rozmˇ

ery matic. X(AB)Z je typu s × n. YAZ je typu s × m a XBY je

typu m × n, proto jejich souˇ

cin je typu s × n.

Ovˇ

eˇ

rme rovnost j-t´

ych sloupc˚

u pro kaˇ

zd´

e j ∈ ˆ

n.

[

X(AB)Z]•j = ((AB)~xj)

Z = (A(B~

xj))

Z =

Y AZ(B~x

j )Y = [

YAZ XBY]•j.

Pˇ

redposledn´ı rovnost plyne z Vˇ

ety 30 o v´

ypoˇ

ctu obrazu vektoru pomoc´ı matice v b´

az´ıch, a

uvˇ

edom´ıme-li si, ˇ

ze (B~

xj)Y je j-t´

y sloupec matice XBY , plyne posledn´ı rovnost z definice n´

asoben´ı

matic (j-t´

y sloupec souˇ

cinu dvou matic se totiˇ

z z´ısk´

a jako souˇ

cin prvn´ı matice s j-t´

ym sloupcem

druh´

e matice).

46

Pozn´

amka 56. Vˇ

eta 31 o matici sloˇ

zen´

eho zobrazen´ı umoˇ

zˇ

nuje pomoc´ı “vn´

aˇ

sen´ı identity” me-

chanick´

e pˇ

revody matice zobrazen´ı v nˇ

ejak´

ych b´

az´ıch na matici zobrazen´ı v jin´