Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

azi zobrazuje Vn na T

n.

Tento pojem se zav´

ad´ı i pro prostory s nekoneˇ

cnou dimenz´ı. U prostor˚

u s koneˇ

cnou dimenz´ı,

coˇ

z je n´

aˇ

s pˇ

r´ıpad, je lehk´

e rozhodnout, zda jsou izomorfn´ı.

Vˇ

eta 26 (Izomorfismus prostor˚

u koneˇ

cn´

e dimenze). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad

tˇ

elesem T . Pak P ∼

= Q pr´

avˇ

e tehdy, kdyˇ

z dim P = dim Q.

D˚

ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒): Necht’ P ∼

= Q, pak existuje izomorfismus A ∈ L(P, Q). Z Pozn´

amky 50 plyne, ˇ

ze pak dim P =

h(A) = dim Q.
(⇐):

1. Pokud dim P = dim Q = 0, pak je zˇ

rejm´

e, ˇ

ze P ∼

= Q.

2. Necht’ dim P = dim Q = n ∈ N, pak existuj´ı (~x1, ~x2, . . . , ~xn) b´aze P a (~y1, ~y2, . . . , ~yn) b´aze

Q. Z Vˇ

ety 23 o zad´

an´ı line´

arn´ıho zobrazen´ı pomoc´ı obraz˚

u bazick´

ych vektor˚

u v´ıme, ˇ

ze pak

existuje pr´

avˇ

e jedno line´

arn´ı A ∈ L(P, Q) splˇ

nuj´ıc´ı A~

xi = ~

yi pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n. Ukaˇ

zme, ˇ

ze

toto zobrazen´ı je izomorfn´ı, tj. zb´

yv´

a dok´

azat, ˇ

ze je prost´

e a

”

na“ Q.

• A je prost´e, protoˇze pro libovoln´

y vektor ~

x ∈ kerA, kde ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi, plat´ı A~x =

A(

Pn

i=1 αi~

xi) =

Pn

i=1 αi~

yi = ~0Q. Z LN souboru (~

y1, ~

y2, . . . , ~

yn) plyne, ˇze αi = 0 pro

kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n, tedy kerA = {~0P }.

41

• A je

”

na“ Q, protoˇ

ze

A(P ) = A([~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ) = [A~x1, A~x2, . . . , A~xn]λ = [~

y1, ~

y2, . . . , ~

yn]λ = Q.

Vˇ

eta 27 (Jednoduˇ

sˇ

s´ı ovˇ

eˇ

ren´ı izomorfnosti zobrazen´ı). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad

tˇ

elesem T a dim P = dim Q a necht’ A ∈ L(P, Q). Pak A je izomorfn´ı, pr´