Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

cme (~

x1, . . . , ~xn)

b´

azi B(P ), pak

h(AB) = dim A([~

x1, . . . , ~xn]λ) = dim[A~x1, . . . , A~xn]λ ≤ n = h(B).

Je-li A prost´

e, staˇ

c´ı dok´

azat, ˇ

ze (A~

x1, . . . , A~xn) je LN, a tud´ıˇz h(AB) = h(B). Tedy ve vˇetˇe

staˇ

cilo dokonce pˇ

redpokl´

adat A monomorfn´ı.

Dokaˇ

zme tedy line´

arn´ı nez´

avislost (A~

x1, . . . , A~xn). Uvaˇzujme libovolnou LK

Pn

i=1 αiA~

xi =

~0

Q, pak d´

ıky linearitˇ

e A plat´ı A(

Pn

i=1 αi~

xi) = ~0Q. Jelikoˇz je A prost´e, plat´ı kerA = {~0P },

proto

Pn

i=1 αi~

xi = ~0P . Z LN souboru (~x1, ~x2, . . . , ~xn) pak plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n.

Tedy soubor (A~

x1, A~x2, . . . , A~xn) je LN.

Pozn´

amka 48. Vˇ

simnˇ

eme si, ˇ

ze v druh´

e ˇ

c´

asti d˚

ukazu pˇ

redchoz´ı vˇ

ety jsme se dozvˇ

edˇ

eli, ˇ

ze plat´ı

n´

asleduj´ıc´ı implikace:

Je-li A ∈ L(P, Q) a A prost´

e, pak

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN soubor v P ⇒ (A~x1, A~x2, . . . , A~xn) je LN soubor v Q.

Sami si rozmyslete, ˇ

ze opaˇ

cn´

y smˇ

er plat´ı pro libovoln´

e line´

arn´ı zobrazen´ı:

Je-li A ∈ L(P, Q), pak

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN soubor v P ⇐ (A~x1, A~x2, . . . , A~xn) je LN soubor v Q.

Vˇ

eta 23 (Zad´

an´ı line´

arn´ıho zobrazen´ı pomoc´ı obraz˚

u bazick´

ych vektor˚

u). Necht’ P, Q jsou vek-

torov´

e prostory nad tˇ

elesem T . Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´

aze P a (~

y1, ~

y2, . . . , ~

yn) je libovoln´

y

soubor z Q. Pak existuje pr´

avˇ

e jedno A ∈ L(P, Q) splˇ

nuj´ıc´ı pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n A~

xi = ~

yi.

Slovy:

”

Line´

arn´ı zobrazen´ı je jednoznaˇ

cnˇ

e urˇ