Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

Pn

i=1 αiA~

xi ∈ [A~x1, A~x2, . . . , A~xn]λ.

• [A~

x1, A~x2, . . . , A~xn]λ ⊂ A([~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ):

Necht’ ~

y ∈ [A~

x1, A~x2, . . . , A~xn]λ, pak existuj´ı α1, α2, . . . , αn ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

y =

Pn

i=1 αiA~

xi =

A(

Pn

i=1 αi~

xi) ∈ A([~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ), v posledn´ı rovnosti jsme vyuˇzili linearitu A.

Pˇ

r´

ıklad 30. Vˇ

eta 19 o obrazu line´

arn´ıho obalu umoˇ

zˇ

nuje vypoˇ

c´ıtat snadno hodnost zobrazen´ı.

Necht’ A jako v Pˇ

r´ıkladˇ

e 27. Najdˇ

ete h(A).

ˇ

Reˇ

sen´

ı: Pak A(R

3) = A([

 1

0

0

,

 0

1

0

,

 0

0

1

]λ) = [A

 1

0

0

, A

 0

1

0

, A

 0

0

1

]λ = [( 10 ) , (

1

0 ) , (

0

1 )]λ =

R

2, proto h(A) = 2.

Vˇ

eta 20 (Prostota a j´

adro line´

arn´ıho zobrazen´ı). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem

T . Necht’ A ∈ L(P, Q). A je prost´

e, pr´

avˇ

e kdyˇ

z kerA = {~0P }.

D˚

ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒): Dok´

aˇ

zeme implikaci sporem. Pˇ

redpokl´

ad´

ame tedy, ˇ

ze A je prost´

e a kerA 6= {~0P }. Pak existuje

v kerA vektor ~

x 6= ~0P , tedy A~x = ~0Q = A~0P , to je ale spor s prostotou A.

(⇐): Postupujeme opˇ

et sporem. Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze kerA = {~0P } a z´

aroveˇ

n A nen´ı prost´

e, tj.

existuj´ı ~

x, ~

y ∈ P takov´

e, ˇ

ze A~

x = A~

y a pˇ

ritom ~

x 6= ~

y. Odtud m´

ame d´ıky linearitˇ

e A rovnost

A(~

x − ~

y) = ~0Q, coˇz ale znamen´

a, ˇ

ze ~

x − ~

y ∈ kerA, a to je spor s kerA = {~0P }.

Pˇ

r´

ıklad 31. Uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze obdobn´

e tvrzen´ı pro zobrazen´ı, kter´

e nen´ı line´

arn´ı, neplat´ı. Necht’ ϕ :

R

2 → R je funkcion´al definovan´y n´asledovnˇe. Pro kaˇzd´e (