Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ceno, jsou-li d´

any obrazy bazick´

ych vektor˚

u.“

D˚

ukaz.

• Existence:

Pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P , oznaˇ

cme (~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

a definujme

A~

x =

n

X

i=1

αi~

yi.

Pak A : P → Q a evidentnˇ

e splˇ

nuje A~

xi = ~

yi pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n. Zb´

yv´

a uk´

azat, ˇ

ze A je line´

arn´ı.

– Aditivita:

Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ P , oznaˇ

cme (~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

a (~

y)X =

β1
β2

..

.

βn

, pak z aditivity

souˇ

radnicov´

eho izomorfismu v´ıme, ˇ

ze (~

x + ~

y)X =

α1+β1
α2+β2

..

.

αn+βn

, odkud dostaneme

A(~

x + ~

y) =

n

X

i=1

(αi + βi)~

yi =

n

X

i=1

αi~

yi +

n

X

i=1

βi~

yi = A~x + A~

y.

39

– Homogenita:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P , oznaˇ

cme (~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

, pak z homogenity souˇ

radnicov´

eho

izomorfismu v´ıme, ˇ

ze (α~

x)X =

αα1

αα2

..

.

ααn

, odkud dostaneme

A(α~

x) =

n

X

i=1

(ααi)~

yi = α

n

X

i=1

αi~

yi = αA~x.

• Jednoznaˇcnost:

Necht’ B ∈ L(P, Q) splˇ

nuje B~

xi = ~

yi pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n. Pak pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P , pro kter´

e

(~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

, plat´ı d´ıky linearitˇ

e B

B~

x = B(

n

X

i=1

αi~xi) =

n

X

i=1

αiB~xi =

n

X

i=1

αi~

yi = A~x.

Proto B = A.

Vˇ

eta 24 ( ˇ

Reˇ

sen´ı rovnice A~

x = ~b). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T . Necht’

A ∈ L(P, Q) a ~b ∈ A(P ). Pak mnoˇ

zina vˇ

sech ˇ

reˇ

sen´ı A~

x = ~b, tedy A−1(~b), m´

a tvar

{~

x ∈ P

A~

x = ~b} = ~a + kerA,

kde ~a ∈ P splˇ

nuje A~a = ~b (~a naz´

yv´

ame partikul´

arn´

ım ˇ

reˇ

sen´

ım).

Pozn´

amka 49. Vˇ

simnˇ

eme si, ˇ

ze z pˇ

redpokladu ~b ∈ A(P ) existence partikul´

arn´ıho ˇ

reˇ

sen´ı ~a plyne.

D˚

ukaz. Dokazujeme rovnost dvou mnoˇ

zin, tedy dvˇ

e inkluze.

• {~

x ∈ P

A~

x = ~b} ⊂ ~a + kerA:

Necht’ A~

x = ~b a ~a je partikul´