Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
p + ~
q. Jelikoˇ
z
A~
x ∈ A(P ) a (~
y1, . . . , ~
yk) je b´
aze A(P ), existuj´ı koeficienty α1, . . . , αk ∈ T takov´e, ˇze
A~
x =
Pk
i=1 αi~
yi =
Pk
i=1 αiA~
xi, pak poloˇz´ıme ~
p =
Pk
i=1 αi~
xi a ~
q = ~
x − ~
p a ovˇ
eˇ
r´ıme,
ˇ
ze ~
q ∈ kerA. A~
q = A~
x − A(
Pk
i=1 αi~
xi) = A~x −
Pk
i=1 αiA~
xi = A~x − A~x = ~0Q, proto
skuteˇ
cnˇ
e ~
q ∈ kerA.
(b) ˜
P ⊕ kerA = P , tj. staˇ
c´ı ovˇ
eˇ
rit ˜
P ∩ kerA = {~0P }. Je-li ~x ∈ ˜
P , pak existuj´ı α1, . . . , αk ∈
T takov´
a, ˇ
ze ~
x =
Pk
i=1 αi~
xi, a je-li ~x z´
aroveˇ
n z kerA, pak A~
x = A(
Pk
i+1 αi~
xi) =
Pk
i=1 αiA~
xi = ~0Q a z LN (A~x1, . . . , A~xk) plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzd´e i ∈ ˆ
k, tedy vektor
~
x z pr˚
uniku je nulov´
y.
Pˇ
r´
ıklad 33. Nebudeme dˇ
elat nov´
y pˇ
r´ıklad, ale nab´
ad´
ame ˇ
cten´
aˇ
re, aby se vr´
atil k Pˇ
r´ıkladu 29, kde
jsme vyˇ
setˇ
rili j´
adro a hodnost zobrazen´ı A a B, a zkontroloval, ˇ
ze rovnost z 2. vˇ
ety o dimenzi pro
nˇ
e plat´ı.
Pozn´
amka 50. Necht’ P, Q jsou vektorov´
e prostory nad tˇ
elesem T a necht’ A ∈ L(P, Q) je izo-
morfn´ı, pak z 2. vˇ
ety o dimenzi plyne, ˇ
ze h(A) = dim P . A samozˇ
rejmˇ
e, protoˇ
ze A(P ) = Q, plat´ı
tak´
e, ˇ
ze h(A) = dim Q.
Definice 23. Necht’ P, Q jsou vektorov´
e prostory nad tˇ
elesem T . ˇ
Rekneme, ˇ
ze P a Q jsou izo-
morfn´
ı, p´ıˇ
seme P ∼
= Q, pokud existuje izomorfismus A ∈ L(P, Q).
Pˇ
r´
ıklad 34. Necht’ Vn je vektorov´
y prostor dimenze n ∈ N nad tˇelesem T . Pak Vn ∼
= T
n, protoˇze
souˇ
radnicov´
y izomorfismus napˇ
r´ıklad ve standardn´ı b´