Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

p + ~

q. Jelikoˇ

z

A~

x ∈ A(P ) a (~

y1, . . . , ~

yk) je b´

aze A(P ), existuj´ı koeficienty α1, . . . , αk ∈ T takov´e, ˇze

A~

x =

Pk

i=1 αi~

yi =

Pk

i=1 αiA~

xi, pak poloˇz´ıme ~

p =

Pk

i=1 αi~

xi a ~

q = ~

x − ~

p a ovˇ

eˇ

r´ıme,

ˇ

ze ~

q ∈ kerA. A~

q = A~

x − A(

Pk

i=1 αi~

xi) = A~x −

Pk

i=1 αiA~

xi = A~x − A~x = ~0Q, proto

skuteˇ

cnˇ

e ~

q ∈ kerA.

(b) ˜

P ⊕ kerA = P , tj. staˇ

c´ı ovˇ

eˇ

rit ˜

P ∩ kerA = {~0P }. Je-li ~x ∈ ˜

P , pak existuj´ı α1, . . . , αk ∈

T takov´

a, ˇ

ze ~

x =

Pk

i=1 αi~

xi, a je-li ~x z´

aroveˇ

n z kerA, pak A~

x = A(

Pk

i+1 αi~

xi) =

Pk

i=1 αiA~

xi = ~0Q a z LN (A~x1, . . . , A~xk) plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

k, tedy vektor

~

x z pr˚

uniku je nulov´

y.

Pˇ

r´

ıklad 33. Nebudeme dˇ

elat nov´

y pˇ

r´ıklad, ale nab´

ad´

ame ˇ

cten´

aˇ

re, aby se vr´

atil k Pˇ

r´ıkladu 29, kde

jsme vyˇ

setˇ

rili j´

adro a hodnost zobrazen´ı A a B, a zkontroloval, ˇ

ze rovnost z 2. vˇ

ety o dimenzi pro

nˇ

e plat´ı.

Pozn´

amka 50. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T a necht’ A ∈ L(P, Q) je izo-

morfn´ı, pak z 2. vˇ

ety o dimenzi plyne, ˇ

ze h(A) = dim P . A samozˇ

rejmˇ

e, protoˇ

ze A(P ) = Q, plat´ı

tak´

e, ˇ

ze h(A) = dim Q.

Definice 23. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T . ˇ

Rekneme, ˇ

ze P a Q jsou izo-

morfn´

ı, p´ıˇ

seme P ∼

= Q, pokud existuje izomorfismus A ∈ L(P, Q).

Pˇ

r´

ıklad 34. Necht’ Vn je vektorov´

y prostor dimenze n ∈ N nad tˇelesem T . Pak Vn ∼

= T

n, protoˇze

souˇ

radnicov´

y izomorfismus napˇ

r´ıklad ve standardn´ı b´