Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

e prostory nad tˇ

elesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q).

• Hodnost´ı A nazveme dim A(P ) a znaˇ

c´ıme h(A).

• J´

adrem A nazveme A−1(~0Q) = {~x ∈ P

A~

x = ~0Q} a znaˇc´ıme kerA.

• Defektem A nazveme dim kerA a znaˇ

c´ıme d(A).

Pozn´

amka 47. M´

a smysl uvaˇ

zovat dimenzi oboru hodnot A(P ) a j´

adra kerA, protoˇ

ze z Vˇ

ety 18

o obrazech a vzorech podprostor˚

u plyne, ˇ

ze jde o podprostory.

Pˇ

r´

ıklad 29. Pro zobrazen´ı A, B z Pˇ

r´ıkladu 27 urˇ

ceme hodnost, j´

adro a defekt.

ˇ

Reˇ

sen´

ı:

• kerA = {

α1

α2

α3

∈ R

3 

α1+α2

α3

 = ( 0

0 )} = {

α

−α

0

α ∈ R} = [

1

−1

0

]λ. Proto d(A) = 1.

A(R

3) ⊂⊂ R2, proto h(A) ≤ 2. Z´aroveˇn A

 1

0

0

= ( 1

0 ) a A

 0

0

1

= ( 0

1 ) ∈ A(R

3), proto

h(A) ≥ 2. Suma sum´

arum je h(A) = 2 a z Vˇ

ety 11 o vlastnostech podprostor˚

u plyne, ˇ

ze

A(R

3) = R2.

• kerB = {(α1) ∈ R

α1

−α1

α1

=

 0

0

0

} = {0}. Proto d(B) = 0.

B(R) = [

1

−1

1

]λ. Tedy h(B) = 1.

37

Vˇ

eta 19 (Obraz line´

arn´ıho obalu). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T . Necht’

A ∈ L(P, Q). Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor z P . Pak

A([~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ) = [A~x1, A~x2, . . . , A~xn]λ.

D˚

ukaz. Dokazujeme rovnost mnoˇ

zin, tedy dvˇ

e inkluze.

• A([~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ) ⊂ [A~x1, A~x2, . . . , A~xn]λ:

Necht’ ~

y ∈ A([~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ), pak existuje ~x ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ takov´

y, ˇ

ze ~

y = A~

x. Tedy

existuj´ı α1, α2, . . . , αn ∈ T tak, ˇze ~x =

Pn

i=1 αi~

xi, odtud d´ıky linearitˇe A dost´

av´

ame ~

y =

A~

x = A(

Pn

i=1 αi~

xi) =