Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

arn´ı ˇ

reˇ

sen´ı, pak A(~

x − ~a) = A~

x − A~a = ~b − ~b = ~0Q, proto

~

x − ~a ∈ kerA, tedy ~

x ∈ ~a + kerA.

• ~a + kerA ⊂ {~

x ∈ P

A~

x = ~b}:

Necht’ ~

x ∈ ~a + kerA, pak existuje ~

z ∈ kerA tak, ˇ

ze ~

x = ~a +~

z. Pak A~

x = A(~a +~

z) = A~a + A~

z =

~b + ~0

Q =

~b. Proto ~x ∈ {~x ∈ P 

A~

x = ~b}.

Pˇ

r´

ıklad 32. Necht’ A : R

3 → R2 je definovan´e pro kaˇzd´e

α1

α2

α3

∈ R

3 jako A

α1

α2

α3

=

α1+α2

α3

.

Uˇ

z jsme v Pˇ

r´ıkladu 29 vyˇ

setˇ

rili, ˇ

ze kerA = [

1

−1

0

]λ a ˇze

A

−1(( 0

1 )) = {

α

−α

1

α ∈ R} =

 0

0

1

+ [

1

−1

0

]λ.

Tedy vid´ıme, ˇ

ze mnoˇ

zinu ˇ

reˇ

sen´ı rovnice A~

x = ( 0

1 ) z´

ısk´

ame sˇ

c´ıt´

an´ım partikul´

arn´ıho ˇ

reˇ

sen´ı se vˇ

semi

moˇ

zn´

ymi vektory z j´

adra.

40

5.2

2. vˇ

eta o dimenzi

Vˇ

eta 25 (2. vˇ

eta o dimenzi). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T a necht’ A ∈

L(P, Q). Pak

h(A) + d(A) = dim P.

D˚

ukaz.

1. Je-li h(A) = 0, pak kerA = P a tvrzen´ı vˇ

ety evidentnˇ

e plat´ı.

2. Je-li h(A) = k ∈ N, pak existuje (~y1, . . . , ~yk) b´aze A(P ). Z definice A(P ) v´ıme, ˇze pak existuj´ı

vektory ~

x1, . . . , ~xk, pro kter´e ~

yi = A~xi. Podle Pozn´

amky 48 plat´ı, ˇ

ze (~

x1, . . . , ~xk) je LN

soubor. Oznaˇ

cme ˜

P = [~

x1, . . . , ~xk]λ a ukaˇzme, ˇze kerA je doplnˇek ˜

P do P , tj. P = ˜

P ⊕ kerA.

Pak bude jasn´

e, ˇ

ze dim P = k + d(A) = h(A) + d(A). Tedy uk´

aˇ

zeme:

(a) ˜

P + kerA = P , tj. pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P existuje ~

p ∈ ˜

P a ~

q ∈ kerA tak, ˇ

ze ~

x = ~