Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ym

tˇ

elesem T . Necht’ B ∈ L(P, Q) a A ∈ L(Q, V ). Pak AB ∈ L(P, V ).

D˚

ukaz. Sloˇ

zen´

e zobrazen´ı je pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P definov´

ano (AB)~

x = A(B~

x). Jde tedy o korektnˇ

e

definovan´

e zobrazen´ı P do V (A p˚

usob´ı na vektor B~

x, kter´

y je z Q). Zb´

yv´

a ovˇ

eˇ

rit linearitu.

• Aditivita:

Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ P plat´ı (AB)(~

x + ~

y) = A(B(~

x + ~

y)) = A(B~

x + B~

y) = A(B~

x) + A(B~

y) =

(AB)~

x + (AB)~

y, kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti je vyuˇ

zita definice sloˇ

zen´

eho zobrazen´ı, v

druh´

e rovnosti aditivita B a ve tˇ

ret´ı rovnosti aditivita A.

35

• Homogenita:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P plat´ı (AB)(α~

x) = A(B(α~

x)) = A(αB~

x) = αA(B~

x) =

α(AB)~

x, kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti je vyuˇ

zita definice sloˇ

zen´

eho zobrazen´ı, v druh´

e

rovnosti homogenita B a ve tˇ

ret´ı rovnosti homogenita A.

Pˇ

r´

ıklad 27. Necht’ zobrazen´ı A : R

3 → R2 a B : R → R3 jsou definov´ana

• pro kaˇzd´

e

α1

α2

α3

∈ R

3 je A

α1

α2

α3

=

α1+α2

α3

,

• pro kaˇzd´

e α1 ∈ R je B(α1) =

α1

−α1

α1

.

Ovˇ

eˇ

rme, ˇ

ze A ∈ L(R

3, R2).

ˇ

Reˇ

sen´

ı:

• Aditivita:

Pro kaˇ

zd´

e

α1

α2

α3

,

 β1

β2
β3

∈ R

3 plat´ı A

 α1+β1

α2+β2
α3+β3

=

 (α

1 +β1 )+(α2 +β2 )

α3+β3

=

 (α

1 +α2 )+(β1 +β2 )

α3+β3

=

α1+α2

α3

 +

 β

1 +β2

β3

= A

α1

α2

α3

+ A

 β1

β2
β3

, kde jsme vyuˇ

zili vlastnosti sˇ

c´ıt´

an´ı ˇ

c´ısel v R a de-

finici sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u v R

2.

• Homogenita:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ R a kaˇzd´e

α1

α2

α3

∈ R

3 plat´ı A

αα1

αα2

αα3

=

αα1+αα2

αα3

=

α(α1+α2)

αα3

=

α α1+α2

α3

 = αA

α1

α2

α3

, kde jsme vyuˇ

zili vlastnosti sˇ

c´ıt´

an´ı a n´

asoben´ı ˇ

c´ısel v R a definici