Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem v R

2.

Sami ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze B ∈ L(R, R

3).

Z Vˇ

ety 17 o skl´

ad´

an´ı line´

arn´ıch zobrazen´ı v´ıme, ˇ

ze AB ∈ L(R, R

2). Najdˇeme pˇredpis pro AB.

ˇ

Reˇ

sen´

ı: Pro kaˇ

zd´

e α1 ∈ R

(AB)(α1) = A(B(α1)) = A

α1

−α1

α1

=

0

α1

 .

Definice 21. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q). Necht’

M ⊂ P a N ⊂ Q. Pak (stejnˇ

e jako v matematick´

e anal´

yze)

• obrazem M pˇri zobrazen´ı A nazveme mnoˇzinu A(M ) = {A~

x

~

x ∈ M },

• vzorem N pˇri zobrazen´ı A nazveme mnoˇzinu A−1(N ) = {~

x ∈ P

A~

x ∈ N }.

Pozn´

amka 45. M´ısto A−1({~

x}) budeme ps´

at A−1(~

x).

Pˇ

r´

ıklad 28. Necht’ A, B definov´

any stejnˇ

e jako v Pˇ

r´ıkladˇ

e 27.

• Necht’ M = {1, 2, 3}, pak B(M ) = {

1

−1

1

,

2

−2

2

,

3

−3

3

}.

• Necht’ N1 = {

1

−2

1

,

1

−1

1

} a N2 = {

1

−2

1

}, pak B−1(N1) = {1} a B−1(N2) = ∅.

• Necht’ N = {( 0

1 )}, pak A

−1(N ) = {

α

−α

1

α ∈ R}.

Pozn´

amka 46. Neplet’te si vzor mnoˇ

ziny A−1(N ) (jde o mnoˇ

zinu) s inverzn´ım zobrazen´ım A−1

(jde o zobrazen´ı). I pro zobrazen´ı, kter´

a nejsou prost´

a, m´

a smysl hovoˇ

rit o vzorech mnoˇ

zin, viz

pˇ

redchoz´ı pˇ

r´ıklad, kde A−1(( 0

1 )) existuje a A nen´

ı prost´

e, protoˇ

ze napˇ

r´ıklad A

 0

0

1

= A

 1

1

1

.

36

Vˇ

eta 18 (Obraz a vzor podprostoru). Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad tˇ

elesem T . Necht’

A ∈ L(P, Q). Necht’ M ⊂⊂ P a N ⊂⊂ Q. Pak

• A(M ) ⊂⊂ Q,

• A−1(N ) ⊂⊂ P .

Speci´

alnˇ

e A(P ) ⊂⊂ Q.

D˚

ukaz.

• Dokaˇ

zme nejprve A(M ) ⊂⊂ Q. (Vˇ

simnˇ

ete si, kde v bodech 2., 3. i 4. vyuˇ