Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇ

zita definice n´

asobku zobrazen´ı αA a ve druh´

e

rovnosti aditivita zobrazen´ı A a ve tˇ

ret´ı rovnosti vlastnosti vektorov´

eho prostoru Q.

(b) Pro kaˇ

zd´

e β ∈ T a ~

x ∈ P plat´ı

(αA)(β~

x) = αA(β~

x) = α(βA~

x) = (αβ)A~

x = (βα)A~

x = β(αA~

x) = β(αA)~

x,

kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti byla vyuˇ

zita definice n´

asobku zobrazen´ı αA, ve druh´

e

rovnosti homogenita zobrazen´ı A, ve tˇ

ret´ı a p´

at´

e rovnosti vlastnosti vektorov´

eho pro-

storu Q a ve ˇ

ctvrt´

e rovnosti vlastnosti tˇ

elesa T .

33

4. Platnost osmi axiom˚

u vektorov´

eho prostoru:

(a) Pro kaˇ

zd´

e A, B ∈ L(P, Q) plat´ı A + B = B + A, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P m´

ame

(A + B)~

x = A~

x + B~

x = B~

x + A~

x = (B + A)~

x, vyuˇ

zili jsme tedy komutativn´ıho z´

akona

pro sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u v prostoru Q.

(b) Pro kaˇ

zd´

e A, B, C ∈ L(P, Q) plat´ı A + (B + C) = (A + B) + C, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P

m´

ame (A + (B + C))~

x = A~

x + (B + C)~

x = A~

x + (B~

x + C~

x) = (A~

x + B~

x) + C~

x =

(A + B)~

x + C~

x = ((A + B) + C)~

x, vyuˇ

zili jsme tedy asociativn´ıho z´

akona pro sˇ

c´ıt´

an´ı

vektor˚

u v prostoru Q.

(c) Existuje zobrazen´ı B ∈ L(P, Q) tak, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e A ∈ L(P, Q) plat´ı A + B = A, staˇ

c´ı

poloˇ

zit B := Θ (nulov´

e zobrazen´ı), o kter´

em uˇ

z v´ıme, ˇ

ze je line´

arn´ı, a snadno ovˇ

eˇ

r´ıme,

ˇ

ze roli nulov´

eho vektoru hraje, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P plat´ı (A + Θ)~

x = A~

x + Θ~

x =

A~

x + ~0Q = A~x.

(d) Pro kaˇ

zd´

e A ∈ L(P, Q) existuje B ∈ L(P, Q) tak, ˇ