Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

y1, . . . , ~

ym−s) je LN, protoˇze libovoln´

a LK

Ps

i=1 αi~

zi +

Pn−s

i=1 βi~

xi +

Pm−s

i=1

γi~

yi = ~0 je trivi´

aln´ı. To plyne z n´

asleduj´ıc´ıch ´

uprav:

Ps

i=1 αi~

zi +

Pn−s

i=1 βi~

xi = −

Pm−s

i=1

γi~

yi, coˇz je vektor patˇr´ıc´ı do P (jak je vidˇet z lev´e strany

rovnosti) i do Q (jak je vidˇ

et z prav´

e strany rovnosti), tedy leˇ

z´ı v P ∩ Q. Ta-

kov´

y vektor je pak LK bazick´

ych vektor˚

u P ∩ Q, tj.

Ps

i=1 αi~

zi +

Pn−s

i=1 βi~

xi =

−

Pm−s

i=1

γi~

yi =

Ps

i=1 δi~

zi. Pak ale

Ps

i=1 δi~

zi +

Pm−s

i=1

γi~

yi = ~0 a z LN souboru

(~

z1, . . . , ~zs, ~

y1, . . . , ~

ym−s) plyne, ˇze γ1 = · · · = γm−s = 0. Pot´e z rovnosti

Ps

i=1 αi~

zi+

Pn−s

i=1 βi~

xi = −

Pm−s

i=1

γi~

yi = ~0 a z LN souboru (~z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s) plyne, ˇze

α1 = · · · = αs = 0 a β1 = · · · = βn−s, coˇz znamen´

a, ˇ

ze LK je trivi´

aln´ı.

Pozn´

amka 38. Vˇ

simnˇ

eme si, ˇ

ze 1. vˇ

eta o dimenzi by platila i pro prostory P, Q, kde jeden nebo i

oba by mˇ

ely dimenzi nekoneˇ

cnou. Radˇ

eji jsme ale do pˇ

redpoklad˚

u pˇ

ridali koneˇ

cn´

e dimenze, protoˇ

ze

napˇ

r´ıklad v rovnosti dim (P + Q) = dim P + dim Q − dim (P ∩ Q) uˇ

z je tˇ

reba koneˇ

cnost hl´ıdat,

abychom neodeˇ

c´ıtali ∞ − ∞.

Pˇ

r´

ıklad 23. Necht’ P, Q ⊂⊂ R

3. Necht’ P = [

1
0
0

,

0
1
1

]λ a Q = [

0
1

−1

,

1
2
0

]λ.

Najdˇ

ete dimenzi a b´

azi P + Q a P ∩ Q.

ˇ

Reˇ

sen´

ı: Z pozn´

amky o souˇ

ctu LO v´ıme, ˇ

ze P + Q = [

1
0
0

,

0
1
1

,

0
1

−1

,

1
2
0

]λ. Naj´ıt

29

b´

azi P + Q tedy znamen´

a vybrat b´

azi ze souboru gener´

ator˚

u.

1

0

0

1

0

1

1

2

0

1

−1

0

∼

1