Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ych b´
az´ıch.
Pˇ
r´
ıklad 37. Necht’ X = (
1
−1
2
,
−1
2
−2
,
0
1
−1
), Y = (
0
1
−1
,
2
−1
4
,
−1
2
−3
)
jsou b´
aze R
3 a B ∈ L(R3) m´a matici v b´azi X rovnu XB =
6
−3
0
4
−2
0
2
−1
0
. Najdˇ
ete
1. XBY ,
2. YB.
Pouˇ
zijeme metodu “vn´
aˇ
sen´ı identity”, kde vyuˇ
z´ıv´
ame Vˇ
etu 31 o matici sloˇ
zen´
eho zobrazen´ı. I
znaˇ
c´ı identick´
y oper´
ator na R
3. Jistˇe tedy plat´ı B = IB = BI.
1. XBY =X (IB)Y =X IY XBX , jelikoˇ
z XB zn´
ame, zb´
yv´
a urˇ
cit XIY = ((~
x1)Y , (~x2)Y , (~x3)Y ) =
((
1
−1
2
)Y , (
−1
2
−2
)Y , (
0
1
−1
)Y ) =
1
−3
1
0
1
0
−1
3
0
.
Z´
avˇ
er: XBY =
1
−3
1
0
1
0
−1
3
0
6
−3
0
4
−2
0
2
−1
0
=
−4
2
0
4
−2
0
6
−3
0
.
2. YB =Y (IB)Y =X IY YBX =X IY Y(BI)X =X IY XBX YIX , jelikoˇ
z XB a XIY zn´
ame, zb´
yv´
a urˇ
cit
YIX = ((~y
1)X , (~
y2)X , (~
y3)X ) = ((
0
1
−1
)X , (
2
−1
4
)X , (
−1
2
−3
)X ) =
0
3
−1
0
1
0
1
0
1
.
Z´
avˇ
er: YB =
1
−3
1
0
1
0
−1
3
0
6
−3
0
4
−2
0
2
−1
0
0
3
−1
0
1
0
1
0
1
=
−4
2
0
4
−2
0
6
−3
0
0
3
−1
0
1
0
1
0
1
=
0
−10
4
0
10
−4
0
15
−6
.
´
Ulohu lze ˇ
reˇ
sit i bez vyuˇ
zit´ı Vˇ
ety 31. Zkuste sami vymyslet takov´
y postup.
47
7
Pro zaj´ımavost: Historie vektorov´
eho prostoru
Line´
arn´ı algebra se na vysok´
ych ˇ
skol´
ach uˇ
c´ı
”
proti toku ˇ
casu“. Celou histori´ı line´
arn´ı algebry se
t´
ahly soustavy line´
arn´ıch algebraick´
ych rovnic (k jejich kompletn´ımu ˇ
reˇ
sen´ı se ale dospˇ
elo aˇ
z roku
1905), determinanty se objevily sto let pˇ
red maticemi (v polovinˇ
e 18. stolet´ı nalezly determinanty
svou oblibu d´ıky Cramerovu pravidlu, zat´ımco matice byly poprv´
e poˇ
r´
adnˇ
e zpracovan´
e aˇ
z v d´ıle
Caleyho roku 1858). Vrcholem veˇ
sker´
e abstrakce je pak pojem vektorov´
eho prostoru, jehoˇ
z n´
aznak
se objevuje v d´ıle Grassmanna v roce 1844 a pot´
e Peana roku 1888. Pojd’me se na historii vekto-