Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

yv´

ame standardn´ı b´

az´ı soubor

(E1,1, E1,2, . . . , Em,n), kde pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

m a kaˇ

zd´

e j ∈ ˆ

n je Ei,j matice, kter´a m´a m ˇr´adk˚

u,

n sloupc˚

u, prvek v i-t´

em ˇ

r´

adku a j-t´

em sloupci je roven jedn´

e a vˇ

sechny ostatn´ı prvky jsou

nulov´

e. Tedy napˇ

r´ıklad E2,1 =

  0 0

...

1 0 ...

0 0 ...

..

.

..

.

. .

.

!

. Podobnˇ

e jako v pˇ

redchoz´ım pˇ

r´ıkladˇ

e nahl´

edneme,

ˇ

ze jde o LN soubor gener´

ator˚

u, tentokr´

at o mn ˇ

clenech, proto dim T m,n = mn.

3. V prostoru Pn polynom˚

u stupnˇ

e maxim´

alnˇ

e n − 1 s pˇ

rid´

an´ım nulov´

eho polynomu naz´

yv´

ame

standardn´ı b´

az´ı soubor (e1, e2, . . . , en), kde pro kaˇzd´e t ∈ C jsou polynomy e1, e2, . . . , en

definov´

any

e1(t) = 1, e2(t) = t, e3(t) = t

2, . . . , e

n(t) = t

n−1.

Vysvˇ

etleme, ˇ

ze takov´

y soubor je generuj´ıc´ı. Bereme-li libovoln´

y polynom p ∈ Pn, pak existuj´ı

komplexn´ı ˇ

c´ısla α0, α1, . . . , αn−1 ∈ C takov´a, ˇze pro kaˇzd´e t ∈ C

p(t) = α0 + α1t + α2t

2 + · · · + α

n−1t

n−1 = α

0e1(t) + α1e2(t) + α2e3(t) · · · + αn−1en(t),

tj.

p = α0e1 + α1e2 + α2e3 + · · · + αn−1en,

neboli p ∈ [e1, e2, . . . , en]λ. LN souboru ovˇeˇr´ıme z definice LN. Pˇredpokl´

ad´

ame-li, ˇ

ze β1e1 +

β2e2 + · · · + βnen = O(nulov´

y polynom), znamen´

a to, ˇ

ze polynom vlevo m´

a pro vˇ

sechna t ∈ C

tvar β1 + β2t + · · · + βnt

n−1. Jelikoˇz jde o nulov´y polynom, vˇsechny koeficienty β1, β2, . . . , βn

jsou nutnˇ

e nulov´

e, a t´ım je dok´

az´

ana LN. Jelikoˇ

z m´

a Pn n-ˇclennou b´

azi, je dim Pn = n