Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2. Viz d˚
ukaz 1. implikace ve Vˇ
etˇ
e 6 o alternativn´ı definici dimenze.
3. Kdyby n-ˇ
clenn´
y soubor gener´
ator˚
u nebyl LN, ˇ
slo by z jeho obalu vyhodit nˇ
ekter´
y z vektor˚
u,
aniˇ
z by se obal zmˇ
enil. Pak by ale V byl generov´
an n − 1 vektory, coˇ
z by podle Steinitzovy
vˇ
ety znamenalo, ˇ
ze LN soubory ve V maj´ı maxim´
alnˇ
e n − 1 ˇ
clen˚
u, a tedy vˇ
sechny n-ˇ
clenn´
e
jsou LZ. A to je spor s dim V = n.
Pozn´
amka 30. Moˇ
zn´
a se div´ıte, proˇ
c jsme pro definici dimenze nepouˇ
zili hned na zaˇ
c´
atku definici
alternativn´ı (tedy pomoc´ı b´
aze). Takov´
a definice by ale potˇ
rebovala ovˇ
eˇ
rit korektnost - tedy fakt,
ˇ
ze kdyˇ
z ve V nˇ
ekdo najde b´
azi o 10 ˇ
clenech a prohl´
as´ı, ˇ
ze dimenze je 10, nestane se, ˇ
ze by nˇ
ekdo
jin´
y naˇ
sel b´
azi o jin´
em poˇ
ctu ˇ
clen˚
u. Fakt, ˇ
ze vˇ
sechny b´
aze maj´ı stejn´
y poˇ
cet ˇ
clen˚
u se snadno ovˇ
eˇ
r´ı
pomoc´ı Steinitzovy vˇ
ety. Zkuste sami rozmyslet, jak byste jej ovˇ
eˇ
rili bez pouˇ
zit´ı Steinitzovy vˇ
ety.
P˚
uvodn´ı definice dimenze je tedy sice techniˇ
ctˇ
ejˇ
s´ı, ale nevyˇ
zaduje dodateˇ
cn´
e ovˇ
eˇ
ren´ı korektnosti.
Pˇ
r´
ıklad 13. Uved’me, jak vypadaj´ı b´
aze a dimenze nejzn´
amˇ
ejˇ
s´ıch vektorov´
ych prostor˚
u.
1. V T n naz´
yv´
ame standardn´ı b´
az´ı soubor E = (~
e1, ~e2, . . . , ~en), kde
~
e1 =
1
0
0
..
.
0
, ~
e2 =
0
1
0
..
.
0
, . . . , ~
en =
0
0
0
..
.
1
.
Snadno nahl´
edneme, ˇ
ze soubor E je LN. D´
ale E generuje V , protoˇ
ze kaˇ
zd´
y vektor ~
x =
α1
α2
..
.
αn
∈ T n lze ps´
at jako ~
x = α1~e1 + α2~e2 + · · · + αn~en. Proto dim T
n = n.
20
2. V prostoru matic T m,n (o m ˇ
r´
adc´ıch a n sloupc´ıch) naz´