Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

2. Viz d˚

ukaz 1. implikace ve Vˇ

etˇ

e 6 o alternativn´ı definici dimenze.

3. Kdyby n-ˇ

clenn´

y soubor gener´

ator˚

u nebyl LN, ˇ

slo by z jeho obalu vyhodit nˇ

ekter´

y z vektor˚

u,

aniˇ

z by se obal zmˇ

enil. Pak by ale V byl generov´

an n − 1 vektory, coˇ

z by podle Steinitzovy

vˇ

ety znamenalo, ˇ

ze LN soubory ve V maj´ı maxim´

alnˇ

e n − 1 ˇ

clen˚

u, a tedy vˇ

sechny n-ˇ

clenn´

e

jsou LZ. A to je spor s dim V = n.

Pozn´

amka 30. Moˇ

zn´

a se div´ıte, proˇ

c jsme pro definici dimenze nepouˇ

zili hned na zaˇ

c´

atku definici

alternativn´ı (tedy pomoc´ı b´

aze). Takov´

a definice by ale potˇ

rebovala ovˇ

eˇ

rit korektnost - tedy fakt,

ˇ

ze kdyˇ

z ve V nˇ

ekdo najde b´

azi o 10 ˇ

clenech a prohl´

as´ı, ˇ

ze dimenze je 10, nestane se, ˇ

ze by nˇ

ekdo

jin´

y naˇ

sel b´

azi o jin´

em poˇ

ctu ˇ

clen˚

u. Fakt, ˇ

ze vˇ

sechny b´

aze maj´ı stejn´

y poˇ

cet ˇ

clen˚

u se snadno ovˇ

eˇ

r´ı

pomoc´ı Steinitzovy vˇ

ety. Zkuste sami rozmyslet, jak byste jej ovˇ

eˇ

rili bez pouˇ

zit´ı Steinitzovy vˇ

ety.

P˚

uvodn´ı definice dimenze je tedy sice techniˇ

ctˇ

ejˇ

s´ı, ale nevyˇ

zaduje dodateˇ

cn´

e ovˇ

eˇ

ren´ı korektnosti.

Pˇ

r´

ıklad 13. Uved’me, jak vypadaj´ı b´

aze a dimenze nejzn´

amˇ

ejˇ

s´ıch vektorov´

ych prostor˚

u.

1. V T n naz´

yv´

ame standardn´ı b´

az´ı soubor E = (~

e1, ~e2, . . . , ~en), kde

~

e1 =

1

0

0

..

.

0

, ~

e2 =

0

1

0

..

.

0

, . . . , ~

en =

0

0

0

..

.

1

.

Snadno nahl´

edneme, ˇ

ze soubor E je LN. D´

ale E generuje V , protoˇ

ze kaˇ

zd´

y vektor ~

x =

α1

α2

..

.

αn

∈ T n lze ps´

at jako ~

x = α1~e1 + α2~e2 + · · · + αn~en. Proto dim T

n = n.

20

2. V prostoru matic T m,n (o m ˇ

r´

adc´ıch a n sloupc´ıch) naz´