Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ze po ekvivalentn´ıch

ˇ

r´

adkov´

ych ´

uprav´

ach z˚

ustanou v matici v horn´ım stupˇ

novit´

em tvaru pouze hlavn´ı sloupce,

zjiˇ

st’ujeme, ˇ

ze (~

x1, ~x2, ~x3) je LN generuj´ıc´ı soubor V , je to tedy b´

aze.

Dalˇ

s´ım d˚

uleˇ

zit´

ym pojmem je dimenze, kter´

a (jak uvid´ıme zanedlouho) s b´

az´ı ´

uzce souvis´ı.

Definice 11. Necht’ V 6= {~0} je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . Necht’ existuje n ∈ N takov´e, ˇze

jsou splnˇ

eny 2 podm´ınky

17

1. ve V existuje n-ˇ

clenn´

y LN soubor,

2. kaˇ

zd´

y (n + 1)-ˇ

clenn´

y soubor z V je LZ,

pak ˇ

r´ık´

ame, ˇ

ze dimenze V je koneˇ

cn´

a a rovna n a p´ıˇ

seme dim V = n. V opaˇ

cn´

em pˇ

r´ıpadˇ

e

ˇ

r´ık´

ame, ˇ

ze dimenze V je nekoneˇ

cn´

a a p´ıˇ

seme dim V = +∞. Pro nulov´

y vektorov´

y prostor klademe

dim V = 0.

Pozn´

amka 28. Rozeberme si, kdy je dim V = +∞, tj. kdy V nem´

a koneˇ

cnou dimenzi. Opaˇ

cn´

y

pˇ

r´ıpad ve v´

yˇ

se uveden´

e definici znamen´

a negaci v´

yroku, tedy: Pro kaˇ

zd´

e n ∈ N je bud’ kaˇzd´y n-

ˇ

clenn´

y soubor ve V LZ, nebo existuje (n + 1)-ˇ

clenn´

y LN soubor. Jelikoˇ

z V 6= {~0}, je jasn´

e, ˇ

ze ne

kaˇ

zd´

y 1-ˇ

clenn´

y soubor je LZ, potom ale, m´

a-li negace v´

yroku platit, dost´

av´

ame, ˇ

ze existuje 2-ˇ

clenn´

y

LN soubor ve V . Pot´

e protoˇ

ze ne kaˇ

zd´

y 2-ˇ

clenn´

y soubor je LZ, dost´

av´

ame, ˇ

ze existuje 3-ˇ

clenn´

y LN

soubor atd. Neboli nekoneˇ

cn´

a dimenze znamen´

a, ˇ

ze ve V existuje pro kaˇ

zd´

e n ∈ N n-ˇclenn´y LN

soubor.

Pˇ

r´

ıklad 11. Uvaˇ

zujme prostor R

4. Necht’ V = [

1
0
0
0

,

0
1
0
0

,

0
0
1
0

]λ. V je LO, tedy je s´

am

o sobˇ

e vektorov´

ym prostorem. Snadno nahl´

edneme, ˇ

ze (

1
0
0
0

,

0
1
0
0

,

0
0
1
0

) je jeho b´

az´ı,

protoˇ

ze jde o LN a generuj´ıc´ı soubor. Ve V tedy existuje 3-ˇ