Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

a, ˇ

ze α~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

6. Z pˇ

redchoz´ıch dvou bod˚

u v´ıme, ˇ

ze LO je uzavˇ

ren´

y na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u a n´

asoben´ı vektoru

ˇ

c´ıslem z T pˇ

ri zachov´

an´ı operac´ı z V . Zb´

yv´

a ovˇ

eˇ

rit platnost 8 axiom˚

u vektorov´

eho prostoru.

• Jelikoˇz V je vektorov´

y prostor, je jasn´

e, ˇ

ze ~0 ∈ V splˇ

nuje pro kaˇ

zd´

y ~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ ⊂

V rovnost

~

x + ~0 = ~

x.

A jelikoˇ

z podle 1. vlastnosti LO patˇ

r´ı ~0 do [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, dok´

azali jsme t´ım platnost

3. axiomu o existenci nulov´

eho vektoru v [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

• Jelikoˇz V je vektorov´

y prostor, je jasn´

e, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

y ~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ ⊂ V leˇz´ı ve

V i −~

x splˇ

nuj´ıc´ı rovnost

~

x + (−~

x) = ~0.

A jelikoˇ

z podle Vˇ

ety 1 plat´ı, ˇ

ze −~

x = (−1)~

x, a podle 5. vlastnosti LO (uzavˇ

renost LO

na n´

asoben´ı ˇ

c´ıslem z T ) patˇ

r´ı (−1)~

x do [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, dok´

azali jsme t´ım platnost 4.

axiomu o existenci opaˇ

cn´

eho vektoru ke kaˇ

zd´

emu vektoru z [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

13

• Vˇsechny ostatn´ı axiomy jsou splnˇ

eny pro vˇ

sechny vektory z V , t´ım sp´ıˇ

se jsou splnˇ

eny

pro vˇ

sechny vektory z [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ ⊂ V .

Pˇ

r´

ıklad 8. Rozmyslete si, jak vypadaj´ı LO v R

2.

1. [( 0

0 )]λ je jedin´

y bod ( 0

0 ).

2. [~

x]λ, kde ~x 6= ~0, je pˇr´ımka. Obsahuje totiˇz pr´

avˇ

e vˇ

sechny moˇ

zn´

e re´

aln´

e n´

asobky vektoru ~

x.

3. [~

x, ~

y]λ, kde ~x a ~

y neleˇ

z´ı v jedn´

e pˇ

r´ımce, je cel´

a rovina R

2. K d˚

ukazu, ˇ

ze kaˇ