Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

elesem T a (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor vektor˚

u

z V . Pak

Pn

i=1 ~

xi je opˇet vektorem z V . To plyne z faktu, ˇze s vektory provedeme koneˇcn´

y poˇ

cet

sˇ

c´ıt´

an´ı, pˇ

riˇ

cemˇ

z kaˇ

zd´

y mezisouˇ

cet je z V , tedy i v´

ysledek je z V .

Vˇ

eta 2 (Vlastnosti souˇ

ctu souboru). Necht’ n ∈ N, n ≥ 2 a (~x1, ~x2, . . . , ~xn) a (~y1, ~y2, . . . , ~yn) jsou

soubory vektor˚

u z vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T . Pak

1. pro kaˇ

zd´

e k ∈ [

n − 1 plat´ı

Pn

i=1 ~

xi =

Pk

i=1 ~

xi +

Pn

i=k+1 ~

xi (zobecnˇ

en´

y asociativn´

ı z´

akon

pro ⊕),
Slovy:

”

v souˇ

ctu souboru nez´

aleˇ

z´ı na uz´

avorkov´

an´ı“.

2. pro kaˇ

zdou permutaci (k1, k2, . . . , kn) mnoˇziny ˆ

n plat´ı

Pn

i=1 ~

xi =

Pn

i=1 ~

xk

i

(zobecnˇ

en´

y

komutativn´

ı z´

akon pro ⊕),

Slovy:

”

v souˇ

ctu souboru nez´

aleˇ

z´ı na poˇ

rad´ı vektor˚

u“.

3. pro kaˇ

zd´

e α ∈ T plat´ı α

Pn

i=1 ~

xi =

Pn

i=1 α~

xi (zobecnˇ

en´

y distributivn´

ı z´

akon pro 

vzhledem ke sˇ

c´

ıt´

an´

ı vektor˚

u),

4.

Pn

i=1 ~

xi +

Pn

i=1 ~

yi =

Pn

i=1(~

xi + ~

yi).

D˚

ukaz. Lze prov´

est matematickou indukc´ı. Nen´ı tˇ

eˇ

zk´

y, ale technick´

y. Proto jej vynech´

av´

ame.

Zkuste sami, zda byste umˇ

eli d˚

ukaz prov´

est.

Definice 6. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T a (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor vektor˚

u z V .

ˇ

R´ık´

ame, ˇ

ze vektor ~

x je line´

arn´

ı kombinac´

ı (LK) souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xn), pokud existuj´ı ˇc´ısla

α1, α2, . . . , αn ∈ T takov´

a, ˇ

ze

~

x =

n

X

i=1

αi~xi.

ˇ

C´ısla αi, i ∈ ˆ

n, naz´

yv´

ame koeficienty LK.

1. Jestliˇ

ze αi = 0 pro vˇsechna i ∈ ˆ

n, naz´

yv´

ame takovou LK trivi´

aln´

ı.

2. V opaˇ