Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

a jedin´

e ˇ

reˇ

sen´

ı,

pr´

avˇ

e kdyˇ

z m´

a matice soustavy jen sam´

e hlavn´

ı sloupce a sloupec prav´

ych stran je

vedlejˇ

s´

ı. Kdyˇ

z totiˇ

z neexistuj´ı vedlejˇ

s´ı sloupce, nelze ˇ

z´

adn´

e nezn´

am´

e volit.

D˚

usledkem pak je, ˇ

ze homogenn´ı soustava m´

a jen trivi´

aln´ı ˇ

reˇ

sen´ı, pr´

avˇ

e kdyˇ

z m´

a matice sou-

stavy jen hlavn´ı sloupce.

Pokud m´

a matice homogenn´ı soustavy i vedlejˇ

s´ı sloupce, pak pˇ

ri hled´

an´ı netrivi´

aln´ıho ˇ

reˇ

sen´ı je

tˇ

reba zvolit alespoˇ

n jednu nezn´

amou odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇ

s´ımu sloupci nenulovou.

Zb´

yv´

a zodpovˇ

edˇ

et ot´

azku: Lze kaˇ

zdou rozˇ

s´

ıˇ

renou matici soustavy pˇ

rev´

est ekviva-

lentn´

ımi ˇ

r´

adkov´

ymi ´

upravami do horn´

ıho stupˇ

novit´

eho tvaru? Ano! Dokonce staˇ

c´ı 1.

a 2. ekvivalentn´ı ˇ

r´

adkov´

a ´

uprava. Napˇ

r´ıklad n´

asleduj´ıc´ım algoritmem:

• Prohled´

ame prvn´ı sloupec matice a nalezneme nenulov´

y prvek. Odpov´ıdaj´ıc´ıˇ

r´

adek zamˇ

en´ıme

s prvn´ım ˇ

r´

adkem. Nen´ı-li v prvn´ım sloupci nenulov´

y prvek, postupujeme stejnˇ

e s druh´

ym

sloupcem. Oznaˇ

c´ıme k1 index prvn´ıho sloupce, ve kter´em najdeme nenulov´e ˇc´ıslo. Od 2.

ˇ

r´

adku poˇ

c´ınaje odeˇ

cteme takov´

e n´

asobky prvn´ıho ˇ

r´

adku, abychom ve sloupci s indexem k1

dostali nuly.

• Prohled´

av´

ame dalˇ

s´ı sloupce, kter´

e jsou na ˇ

radˇ

e, vˇ

zdy od druh´

eho ˇ

r´

adku poˇ

c´ınaje. Index

prvn´ıho sloupce, v nˇ

emˇ

z najdeme nenulov´

y prvek, oznaˇ

c´ıme k2. Odpov´ıdaj´ıc´ıˇr´

adek zamˇ

en´ıme

s druh´

ym ˇ

r´

adkem. Od tˇ

ret´ıho a dalˇ

s´ıch ˇ

r´

adk˚

u odeˇ

c´ıt´

ame takov´

e n´

asobky druh´

eho ˇ

r´

adku,

abychom vyrobili od tˇ

ret´ıho ˇ

r´

adku poˇ

c´ınaje ve sloupci s indexem k2 sam´e nuly.

• Takto postupujeme tak dlouho, dokud jsou v prohled´

avan´

ych sloupc´ıch na potˇ

rebn´

ych

m´ıstech nenulov´