Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

r´

adc´ıch a n sloupc´ıch s prvky

z tˇ

elesa a pro vektorov´

y prostor T m,n, tedy ˇ

ctveˇ

rici (T m,n, T, +, ·). Je tˇ

reba podle kontextu odliˇ

sit,

o kter´

y pˇ

r´ıpad jde.

Pozn´

amka 14. Rozmyslete si, ˇ

ze prostory T n a T n,1 lze ztotoˇ

znit.

Pozn´

amka 15. Pojem matice je v line´

arn´ı algebˇ

re velmi d˚

uleˇ

zit´

y. Podstatnou ˇ

c´

ast line´

arn´ı algebry

bude tvoˇ

rit maticov´

y poˇ

cet. Prozat´ım vystaˇ

c´ıme s matic´ı jakoˇ

zto vektorem z T m,n, v´ıce se dozv´ıme

v budoucnu.

Pˇ

r´

ıklad 3. K pochopen´ı tohoto pˇ

r´ıkladu je vhodn´

e si pˇ

reˇ

c´ıst Dodatek: Polynomy.

1. Necht’ T = C.

2. Necht’ V = P, coˇ

z je mnoˇ

zina vˇ

sech polynom˚

u.

3. Operaci sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u definujeme

”

bodovˇ

e“:

Pro kaˇ

zd´

e p, q ∈ P definujeme (p + q)(t) = p(t) + q(t) pro kaˇ

zd´

e t ∈ C.

4. Operaci n´

asoben´ı vektoru komplexn´ım ˇ

c´ıslem definujeme

”

bodovˇ

e“:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ C a p ∈ P definujeme (αp)(t) = αp(t) pro kaˇzd´e t ∈ C.

´

Ulohu nulov´

eho vektoru hraje nulov´

y polynom O definovan´

y O(t) = 0 pro kaˇ

zd´

e t ∈ C.

Opaˇ

cn´

ym vektorem k p ∈ P je opaˇ

cn´

y polynom definovan´

y (−p)(t) = −p(t) pro kaˇ

zd´

e t ∈ C.

Sami ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze ˇ

ctveˇ

rice (P, C, +, ·) spln´ı vˇsechny axiomy, tedy P nad C s operacemi definovan´ymi

bodovˇ

e je vektorov´

y prostor, naz´

yv´

ame jej prostorem polynom˚

u.

Pˇ

r´

ıklad 4. Ponechme vˇ

se definovan´

e stejnˇ

e jako v prostoru polynom˚

u, pouze zmˇ

en´ıme mnoˇ

zinu

V . Necht’ n ∈ N. Poloˇzme V = Pn, coˇz je mnoˇzina polynom˚

u stupnˇ

e maxim´

alnˇ

e n − 1 s pˇ

rid´

an´ım

nulov´

eho polynomu (kter´

y nem´

a stupeˇ

n definovan´

y). Opˇ

et sami ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze (Pn, C, +, ·) tvoˇr´ı vek-