Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

eny vˇ

sechny axiomy. Nˇ

ekdy vektorov´

y prostor znaˇ

c´ıme podrobnˇ

eji (V, T, ⊕, ).

Pozn´

amka 6. Pro T = R hovoˇr´ıme o re´

aln´

em vektorov´

em prostoru a pro T = C o kom-

plexn´

ım vektorov´

em prostoru.

Pozn´

amka 7. V definici jsme poctivˇ

e rozliˇ

sovali operace ⊕ pro sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u, + pro sˇ

c´ıt´

an´ı

ˇ

c´ısel,  pro n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem, · pro n´

asoben´ı ˇ

c´ısel. V dalˇ

s´ım textu uˇ

z nebudeme pouˇ

z´ıvat

symboly ⊕ a , z kontextu bude totiˇ

z vˇ

zdy jasn´

e, zda jde o sˇ

c´ıt´

an´ı ve V nebo v T . Nav´ıc budeme

vynech´

avat symbol pro n´

asoben´ı, a to v obou pˇ

r´ıpadech, tedy je-li α, β ∈ T a ~a ∈ V , pak p´ıˇ

seme

αβ m´ısto α · β a α~a m´ısto α · ~a = α  ~a.

Pozn´

amka 8. Prvky tˇ

elesa budeme znaˇ

cit obvykle ˇ

reck´

ymi p´ısmeny α, β, γ, . . . a vektory obvykle

p´ısmeny ze zaˇ

c´

atku a konce abecedy ~a,~b, ~

x, ~

y, ~

z, . . . . ˇ

Sipku nad vektory vynech´

ame jen v´

yjimeˇ

cnˇ

e,

napˇ

r´ıklad v pˇ

r´ıpadech vektor˚

u z prostoru polynom˚

u, matic ˇ

ci line´

arn´ıch zobrazen´ı, kde se ust´

alilo

jin´

e znaˇ

cen´ı.

Vˇ

eta 1 (Vlastnosti vektorov´

eho prostoru). Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . Potom

plat´ı:

1. Ve V existuje pr´

avˇ

e jeden nulov´

y vektor ~0.

2. Ke kaˇ

zd´

emu vektoru z V existuje pr´

avˇ

e jeden opaˇ

cn´

y vektor.

3. Pro kaˇ

zd´

e ~a,~b ∈ V existuje pr´

avˇ

e jedno ˇ

reˇ

sen´ı rovnice ~a + ~

x = ~b, a to ~

x = −~a + ~b.

4. Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı α~0 = ~0 = 0~a.

5. Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı implikace

α~a = ~0 ⇒ (~a = ~0 ∨ α = 0).