Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

C´

ıseln´

ym tˇ

elesem nazveme kaˇ

zdou podmnoˇ

zinu T ⊂ C, kter´a m´a alespoˇ

n dva prvky

a splˇ

nuje:

1. pro kaˇ

zd´

e α, β ∈ T plat´ı α + β ∈ T (hovoˇ

r´ıme o uzavˇ

renosti T na sˇ

c´

ıt´

an´

ı),

2. pro kaˇ

zd´

e α, β ∈ T plat´ı α · β ∈ T (hovoˇ

r´ıme o uzavˇ

renosti T na n´

asoben´

ı),

3. pro kaˇ

zd´

e α ∈ T plat´ı −α ∈ T (hovoˇ

r´ıme o uzavˇ

renosti T v˚

uˇ

ci opaˇ

cn´

emu prvku),

4. pro kaˇ

zd´

e α ∈ T, α 6= 0, plat´ı

1

α

∈ T (hovoˇr´ıme o uzavˇ

renosti T v˚

uˇ

ci pˇ

revr´

acen´

e

hodnotˇ

e).

Pozn´

amka 3. Zamysleme se nad t´ım, kter´

e mnoˇ

ziny (ne)tvoˇ

r´ı tˇ

eleso.

1. Mnoˇ

zina pˇ

rirozen´

ych ˇ

c´ısel N netvoˇr´ı tˇeleso, napˇr. 3 ∈ N, ale −3 6∈ N.

2. Mnoˇ

zina cel´

ych ˇ

c´ısel Z netvoˇr´ı tˇeleso, napˇr. 2 ∈ Z, ale

1
2 6∈ Z.

3. Mnoˇ

zina racion´

aln´ıch ˇ

c´ısel Q tvoˇr´ı tˇeleso. Je to nejmenˇs´ı tˇeleso ve smyslu inkluze, tj. Q je

podmnoˇ

zinou kaˇ

zd´

eho tˇ

elesa.

4. My budeme t´

emˇ

eˇ

r v´

yluˇ

cnˇ

e pracovat s tˇ

elesy re´

aln´

ych ˇ

c´ısel R a komplexn´ıch ˇc´ısel C. Mˇejme

ale st´

ale na pamˇ

eti, ˇ

ze tvrzen´ı, kter´

a budeme uv´

adˇ

et, plat´ı pro libovoln´

e ˇ

c´ıseln´

e tˇ

eleso, nen´ı-li

uvedeno jinak.

Pozn´

amka 4. Kaˇ

zd´

e tˇ

eleso obsahuje ˇ

c´ısla 0 a 1. Obsahuje totiˇ

z podle definice nˇ

ejak´

y prvek α, pak

tak´

e −α ∈ T a d´

ale tak´

e α + (−α) = 0 ∈ T . Jelikoˇ

z T obsahuje alespoˇ

n dva prvky, urˇ

citˇ

e obsahuje

nˇ

ejak´

e α 6= 0, pak tak´

e

1

α ∈ T a d´

ale tak´

e

1

α · α = 1 ∈ T .

Definice 3. Necht’ jsou d´

any:

1. ˇ

c´ıseln´

e tˇ

eleso T (prvky naz´

yv´

ame ˇ

c´

ısla),

2. nepr´

azdn´

a mnoˇ

zina V (prvky naz´