Přehled matiky k maturitě

Substituce za sin x; cos x pokud se vyskytují ve jmenovateli, nebo jakožto poslední výkřik zoufalství:

1. pro sudé mocniny

t = tg x

dx =

dt

1 + t2

sin2 x =

t2

t2 + 1

cos2 x =

1

t2 + 1

1. pro liché mocniny

t = tg x

2

dx =

2dt

1 + t2

sin x =

2t

t2 + 1

cos x =

1 − t2
t2 + 1

14.1.4

Určitý integrál

Def.: Je-li uzavřený interval ha; bi a x0; x1; . . . xn konečná posloupnost n + 1 čísel, pro něž platí, že
a = x0 < x1 < · · · < xn = b, pak říkáme, že je dáno rozdělení intervalu ha; bi určené čísly x0 až xn.
Tato čísla se nazývají dělící body.

a

b

 D(x

0, x1 . . . xn)

Def.: Nechť fce f je spojitá na intervalu ha; bi a je v tomto intervalu omezená, potom nazveme

S(f, D) =

n

X

i=1

Mi(xi − xi−1)

KAPITOLA 14. INTEGRÁLNÍ POČET

55

horní součet příslušný k fci f a k dělení D, kde Mi je suprémum f v ha; bi.

a

b

xi

xi−1

xi

xi−1

Mi

!

Def.: Nechť fce f je spojitá na intervalu ha; bi a je v tomto intervalu
omezená, potom nazveme

s(f, D) =

n

X

i=1

mi(xi − xi−1)

dolní součet příslušný k fci f a k dělení D, kde mi je infimum f v ha; bi.

xi

xi−1

mi

"

Věta: Množina všech horních/dolních součtů příslušných dané omezené fci f na ha; bi a ke všem
možným dělením D intervalu ha; bi je omezená.

Def.: Nechť D; D∗ jsou dvě rozdělení ha; bi. Budeme říkat, že D∗ je zjemněním rozdělení D, jestliže
každý dělící bod rozdělení D je zároveň dělícím bodem D∗.

Věta: Je-li D∗ zjemněním rozdělení D, pak

S(f, D∗) ≤ S(f, D)

Věta: Nechť jsou dána dvě rozdělení D1, D2 v intervalu ha; bi, pak platí

s(f, D1) ≤ S(f, D2)

Věta: Existuje suprémum/infimum všech dolních/horních součtů příslušných fci f a ke všem možným
rozdělením D.