Přehled matiky k maturitě

Z

f (x)dx =

Z

[C1f1(x) + C2f2(x)]dx =

Z

C1f1(x)dx +

Z

C2f2(x)dx = C1

Z

f1(x)dx + C2

Z

f2(x)dx

14.1.1

Integrační metody

1. metoda Per partes

Věta: Mají-li fce u(x) a v(x) v intervalu (a; b) spojité derivace, pak v (a; b) platí

Z

u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) −

Z

u0(x)v(x)dx

2. metoda Substituční

Věta: Nechť fce ϕ má derivaci na intervalu (α; β). Fce F (t) je primitivní k fci f (t) na (a; b).
Nechť ∀x ∈ (α; β); ϕ(x) ∈ (a; b). Potom fce y = F (ϕ(x)) je primitivní k fci y = f (ϕ(x))ϕ0(x) na
(α; β).

Z

f (ϕ(x))ϕ0(x)dx =

Z

f (u)du,

kde u = ϕ(x) a du = ϕ0(x)dx

52

KAPITOLA 14. INTEGRÁLNÍ POČET

53

I. y = c

y = c · x

+C R

II. y = xn

y =

xn+1

n + 1

+C R−{0}; n ∈ N

III. y = x−1

y = ln |x|

+C R−{0}

IV. y = ex

y = ex

+C R

V. y = ax

y =

ax

ln a

+C R; a ∈ R+ − {1}

VI. y = cos x

y = sin x

+C R

VII. y = sin x

y = − cos x

+C R

VIII. y =

1

cos2 x

y = tg x

+C R−{ kπ

2 }; k ∈Z

IX. y =

1

sin2 x

y = -cotg x +C R−{kπ}

X. y =

1

√

1 − x2

y = arcsin x +C (-1; 1)

XI. y = −

1

√

1 − x2

y = arccos x +C (-1; 1)

XII. y =

1

1 + x2

y = arctg x +C R

XIII. y = −

1

1 + x2

y = arccotg x+C R

XIV. y =

f 0(x)

f (x)

y = ln |f (x)| +C

14.1.2

Integrace podílu racionálních fcí

Z

P (x)
Q(x)

1. Je-li P (x) stupně výššího nebo rovného Q(x), pak vydělíme

P (x)
Q(x)

- dostaneme M (x) +

R(x)
Q(x)

,

kde R(x) je zaručeně stupně nižšího než Q(x).

2. Pro P (x) resp. R(x) stupně nižšího než Q(x):

Každý mnohočlen Q(x) = amxm +am−1xm−1 +· · ·+a1x1 +a0 s reálnými koeficienty, lze rozložit:

Q(x) = am(x−α1)k1 ·(x−α2)k2 · · · (x−αi)ki ·(x2 +p1x+q1)l1 ·(x2 +p2x+q2)l2 · · · (x2 +pjx+qj)lj ,