Přehled matiky k maturitě
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
kde α, p, q jsou reálná čísla, k1, k2, . . . ki značí násobnost kořene polynomu a výrazy x2 + px + q
mají záporný diskriminant.
(Pozn. Jestliže je něj. kořen komplexní, musí existovat i komplexně sdružený)
Věta: Nechť
P (x)
Q(x)
je ryze lomená racionální fce s reálnými koeficienty a Q(x) = am(x − α1)k1 ·
(x − α2)k2 · · · (x − αi)ki · (x2 + p1x + q1)l1 · (x2 + p2x + q2)l2 · · · (x2 + pjx + qj)lj , pak existují
taková reálná čísla A1, A2, . . . Ak, B1, B2, . . . Bk, C1, C2, . . . Ck, D1, D2, . . . Dk, . . ., že pro všechna
x různá od nulových bodů mnohočlenu Q(x) platí
P (x)
Q(x)
=
A1
x − α1
+
A2
(x − α1)2
+
A3
(x − α1)3
+ · · · +
B1
x − α2
+
B2
(x − α2)2
+ · · · +
C1x + D1
x2 + p1x + q1
+
+
C2x + D2
(x2 + p1x + q1)2
+ · · · +
E1x + F1
x2 + p2x + q2
+
E2x + F2
(x2 + p2x + q2)2
+ · · ·
Pozn.: Jestliže se mají rovnat dva polynomy, musí si být rovny koeficienty u stejných mocnin.
KAPITOLA 14. INTEGRÁLNÍ POČET
54
14.1.3
Některé ”tabulkové” substituce
∗
Z
1
a2 − x2
dx =
Z
1
(a − x)(a + x)
dx =
Z µ
1
a − x
+
1
a + x
¶
1
2a
dx =
1
2a
(ln |a+x|−ln |a − x|)+C
∗
Z
1
√
a2 − x2
dx
1.
Z
dx
|a|
q
1 − x
2
a2
2. x = a · sin u
dx = a · cos udu
Z
a cos udu
p
a2 − a2 sin2 u
=
Z
du = arcsin
x
a
+ C
∗
Z
dx
a2 + x2
=
1
a
arctg
x
a
x = a · tg u = a ·
sin u
cos u
dx = a ·
1
cos2 u
du
∗
Z
dx
√
x2 + k
= ln |
p
x2 + k + x| + C
√
x2 + k = t − x
dx =
t2 + k
2t2
dt
x =
t2 − k
2t
∗
Z
x2
p
2 − x2dx = 2t −
sin 4t
2
+ C,
kde platí x = 2 sin t dx = 2 cos tdt