Přehled matiky k maturitě

∆x→0∓

f (x0 + ∆x) − f(x0), pak tuto

limitu nazveme derivací f zleva/zprava v bodě x0.

Věta: Fce f má v intervalu ha; bi derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě x ∈ (a; b) a v bodě

a má derivaci zprava a v bodě b má derivaci zleva.

13.1.1

Derivace elementárních fcí

I.

y = c

y0 = 0

II.

y = xn

y0 = nxn−1

III.

y = sin x

y0 = cos x

IV.

y = cos x

y0 = − sin x

V.

y = tg x

y0 =

1

cos2 x

VI.

y = cotg x

y0 = −

1

sin2 x

VII.

y = ex

y0 = ex

VIII.

y = ax

y0 = ax ln a

IX.

y = ln x

y0 =

1

x

X.

y = loga x

y0 =

1

x ln a

XI.

y = arcsin x

y0 =

1

√

1 − x2

XII.

y = arccos x

y0 = −

1

√

1 − x2

XIII.

y = arctg x

y0 =

1

1 + x2

XIV.

y = arccotg x

y0 = −

1

1 + x2

49

KAPITOLA 13. DERIVACE

50

13.1.2

Pravidla pro počítání s derivacemi

Věta: Mají-li fce u a v v bodě x0 derivaci, má v bodě x0 derivaci i: u + v; u − v; uv;

u

v

(v 6= 0) a

platí

(u ± v)0 = u0 ± v0

(uv)0 = u0v + uv0

(

u

v

)0

=

u0v − uv0

v2

(cu)0 =

cu0

13.1.3

Derivace složené fce

Def.: Jestliže fce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a jestliže fce y = f(z) má derivaci v bodě z0 = g(x0),
má složená fce y = f (g(x)) derivaciv bodě x0 a platí

[f (g(x))]0 = f 0(g(x)) · g0(x)

y = f (x)g(x)

y0 = f (x)g(x)

µ

g0(x) ln f (x) + g(x)

f 0(x)

f (x)

¶

13.1.4

Průběh funkce

Rolleova věta: Nechť fce f je spojitá v ha; bi, v každém bodě tohoto intervalu má derivaci a f (a) =
f (b), pak

∃c ∈ (a; b); f 0(c) = 0

→ tečna v bodě c k x

x

c

a

b

Lagrengeova věta: Zobecnění Rolleovy věty

Nechť fce f je spojitá v ha; bi a má v každém bodě tohoto intervalu derivaci, pak