Přehled matiky k maturitě

Kapitola 11

Spojitost fce

11.1

Základní vztahy

Okolí bodu:

∪δ(a) ˆ

= ∪ (a, δ)

δ . . . velikost o kolí
a . . . bod
∪δ(a) = (a − δ; a + δ)

x1 6∈ ∪δ(a)
x2 ∈ ∪δ(a)

⇔

|x2 − a| < δ

x

x1

x2

a

δ

z }| {

δ

z }| {

Pravé δ-okolí bodu a . . . ∪+

δ = ha; a + δ)

Levé δ-okolí bodu a . . . ∪−

δ = (a − δ; ai

Prstencové okolí a . . . Pδ(a) = (a − δ; a) ∪ (a; a + δ)

⇔

0 < |x − a| < δ

Přírůstek argumentu ∆x:

Def.: Nechť je definováno ∪δ(a). Přírůstek argumentu ∆x je roven rozdílu x − a
x − a . . . přírůstek argumentu v bodě a

Přírůstek fce ∆y:

Def.: Fce je definovaná na ∪δ(a). Rozdíl funkčních hodnot f(x) − f(a) nayveme přírůstkem fce
v bodě a.

∆y = f (x) − f (a) = f (a + ∆x) − f (a)

∆x

∆y

x

a

44

KAPITOLA 11. SPOJITOST FCE

45

Spojitost fce v bodě a:

Def.: Nechť fce f je definována na množině J. Fce f je spojitá v intervalu J , právě když platí

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ J; |f (x) − f (a)| < ε,

kde ε ∈ R+, ∀x ∈R, |x − a| < δ, f (x) ∈ ∪ε(a)
Věta: Jsou-li fce f a g spojité v bodě a, je spojitá i fce:

f + g

f − g

f · g

f

g

(g(a) 6= 0)

Spojitost fce v intervalu:

Def.: Fce f je spojitá v bodě a zprava resp. zleva, právě když

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ ∪±

δ (a); |f (x) − f (a)| < ε

Věta: Fce f je spojitá v bodě a, právě když je spojitá v bodě a zprava a zárověň zleva.

Věta: Fce f je spojitá v (a;b) je-li spojitá v každém bodě (a;b).

Věta: Fce f je spojitá v ha; bi je-li spojitá v každém bodě (a; b) a zároveň zprava v a a zleva
v b.