Přehled matiky k maturitě

n⊥u (n·u = 0)

Směrnicový tvar přímky

y = kx + q

k = −

a

b

. . . směrnice

tg ϕ = k

q = −

c
b

. . . úsek na ose y

přímka kolmá → y = −

1

k

x + d

Úsekový tvar přímky

x

p

+

y
q

= 1

p = −

c

a

. . . průsečík s osou x

q = −

c
b

. . . průsečík s osou y

Vzdálenost bodu od přímky

d(P ; p) =

|ap1 + bp2 + c|

√

a2 + b2

Odchylka přímek

p(P ;

u) q(Q; v) ϕh0;

π

2

i

⇓

cos ϕ =

|

u · v|

|

u| · |v|

Osa úhlu
Směrnice osy úhlu je vektor

w, kde platí

w = u∗ + v∗

normovaný vektor -

p∗ = p

|

p|

|

p∗| = 1

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

38

10.1.4

Geometrie v prostoru

Parametrické vyjádření přímky

X = A + t ·

u

⇒

x = a1 + t · u1
y = a2 + t · u2

z = a3 + t · u3

t ∈ R

Parametrické vyjádření roviny

A

B

C

Y

X

v

u

v

 X=Y+s·v Y=A+t·u

&

.

X = A + t ·

u + s · v

X=A+t(B−A)+s(C−A)

Obecná rce roviny

P

X

n

 n·XP=0an(a;b;c)-normálovývektorroviny

X[x; y; z] P [p1; p2; p3]

ax + by + cz + d = 0

d = −(ap1 + bp2 + cp3)

Polohové úlohy v prostoru

1. Přímka a rovina:

- rovnoběžná →

n% · up = 0 - % ∩ p = ∅

- p ⊂ %

- různoběžná →

n% · up 6= 0 - p ∪ % = {A}

2. 2 roviny:

- rovnoběžné

- různé
- splívající

&
%

normálové vektory

lineárně závislé

→ % ∩ σ = ∅
→ % = σ

- různoběžné - lineárně nezávislé

% ∩ σ = p → průsečnice

n% × nσ = up

3. 2 přímky:

- rovnoběžné (různé, totožné)

- různoběžné

- mimoběžné

Příčka mimoběžek

1. rovnoběžná s daným směrem

⇒ 1. přímka + směr → rovina → rovina ∩ 2. přímka

2. procházející bodem

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

39

3. osa mimoběžek

o⊥a o⊥b

(a)

w = u × v

(b) %(a;

w)

(c) A ∈ % ∩ b