Přehled matiky k maturitě
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b
a
x
Pro libovolný bod M hyperboly nazveme úsečky M E, M F průvodiče. Z definice dostaneme vztah
|M F | − |M E| = 2a = konst.
Středová rce
1. Hlavní osa || s osou x
x2
a2
−
y2
b2
= 1
(x − m)2
a2
−
(y − n)2
b2
= 1
2. Hlavní osa || s osou y
−
x2
b2
+
y2
a2
= 1
−
(x − m)2
b2
+
(y − n)2
a2
= 1
Obecná rce
Ax2 − By2 + Cx + Dy + E = 0
Ay2 − Bx2 + Cx + Dy + E = 0
A, B 6= 0
Rce tečny:
xx1
a2
−
yy1
b2
= 1
(x − m)(x1 − m)
a2
−
(y − n)(y1 − n)
b2
= 1,
kde T [x1; y1] je bod dotyku.
parametrické vyjádření
x =
a
cos ϕ
a, b ∈ R+
y = b · tg ϕ
ϕ ∈ h0; 2π) −
½
π
2
;
3
2
π
¾
Vzájemná poloha bodu a hyperboly
Věta: Má-li hyperbola rci Ax2 − By2 + Cx + Dy + E = 0 nebo Ay2 − Bx2 + Cx + Dy + E = 0 a
označíme-li levou stranu této rce jako fci dvou proměnných f (x; y), pak pro souřadnice libovolného
bodu L[x; y] platí:
1. f (x; y) = 0 . . . L ∈ hyperboly
2. f (x; y) < 0 . . . L leží vně hyperboly
3. f (x; y) > 0 . . . L leží uvnitř hyperboly
KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
43
Rovnoosá hyperbola s asymptotami v osách
x a y (graf nepřímé úměrnosti)
y =
k
x
, kde |k| =
a2
2
tečna: y1x + x1y = 2k
Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot je konstantní:
a2b2
a2 + b2
Rce kuželosečky - obecně:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
10.1.6
Otočení soustavy souřadnic
transformační rce:
x = x0 cos α − y0 sin α
x = x0 sin α + y0 cos α
tg α =
C
A − B
koeficienty z obecné rce kuželoseček
10.1.7
Kulová plocha
Def.: Množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost.
(x − m)2 + (y − n)2 + (z − p)2 = r2