Přehled matiky k maturitě
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a= lim
x→±∞
f (x)
x
b= lim
x→±∞
(f (x)−ax)
2. bez směrnice: Přímka o rci a = x (a - bod nespojitosti)
KAPITOLA 12. LIMITY
48
Tečna ke grafu fce
t
y0
x0
x0 + ∆x
y0 + ∆y
Směrnicetečny ks=lim∆x→0∆x∆y
Věta: Je-li křivka grafem fce y = f (x) a existuje-li v bodě x0 vlastní limita
ks = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
pak tečna křivky v daném bodě T [x0; y0] je přímka o rci y − y0 = ks(x − x0)
y=ksx+q
Normála: y = −
1
ks
x + q
Při výpočtu limit jsou důležité tzv. neurčité výrazy. Celkem rozeznáváme neurčité výrazy typů 0
0 ,
∞
∞ ,
0· ∞,
∞−∞,
∞0,
00,
1∞. Tyto neurčité výrazy lze převést na tvar 0
0 popř.
∞
∞ a o limitě těchto
dvou výrazů platí praktické tzv. l’Hospitalovo pravidlo.
L’Hospitalovo pravidlo
Věta: Nechť existují derivace fce f a g v bodě x0, kde g0(x0) 6= 0 a f(x0) = g(x0) = 0, pak ∃ lim
x→x0
f (x)
g(x)
a platí lim
x→x0
f (x)
g(x)
=
f 0(x)
g0(x)
.
Věta: Jsou dány fce f a g. Nechť pro x → x0 představuje podíl
f (x)
g(x)
neurčitý výraz typu 0
0 popř.
∞
∞ .
Existuje-li lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
= A (vlastní či nevlastní), pak existuje také limita lim
x→x0
f (x)
g(x)
a platí
lim
x→x0
f (x)
g(x)
= lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
= A
Kapitola 13
Derivace
13.1
Základní vztahy
Def.: Nechť f je definována v okolí bodu x0. Jestliže existuje limita lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
, pak ji
nazýváme derivací fce f v bodě x0. Píšeme f0(x0).
Věta: Fce f má v intervalu (a; b) derivaci, má-li derivaci v každém bodě tohoto intervalu.
Věta: Jestliže má fce v bodě x0 derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.
Jednostranná derivace:
Def.: Nechť je fce f definována v okolí bodu x0. Existuje-li lim