Přehled matiky k maturitě

Elipsa
Def.: Množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů (ohnisek) stejný součet vzdále-
ností.

E, F . . . ohniska

|EF | = 2e

e. . . excentricita

A, B . . . vrcholy hlavní osy

a = |AS| = |BS| a. . . délka hlavní poloosy

C, D . . . vrcholy vedlejší osy b = |CS| = |DS|

b. . . délka vedlejší poloosy

|EC| = a

⇒

a2 = b2 + e2

Pro libovolný bod M elipsy nazveme úsečky M E, M F průvodiče. Z definice dostaneme vztah

|M E| + |M F | = 2a = konst.

Středová rce

x2
a2

+

y2

b2

= 1

(x − m)2

a2

+

(y − n)2

b2

= 1

Obecná rce

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

A, B 6= 0 A 6= B

Parametrické vyjádření

x = a · cos ϕ

a, b ∈ R+

y = b · sin ϕ

ϕ ∈ h0; 2π)

x = m + a · cos ϕ

S[m; n]

y = n + b · sin ϕ

Rce tečny:

xx1

a2

+

yy1

b2

= 1

(x − m)(x1 − m)

a2

+

(y − n)(y1 − n)

b2

= 1, kde T [x1; y1] je bod dotyku.

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

42

Vzájemná poloha bodu a elipsy
Věta: Má-li elipsa rci Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 a označíme-li levou stranu této rce jako fci dvou
proměnných f (x; y), pak pro souřadnice libovolného bodu L[x; y] platí:

1. f (x; y) = 0 . . . L ∈ elipsy

2. f (x; y) > 0 . . . L leží vně elipsy

3. f (x; y) < 0 . . . L leží uvnitř elipsy

Průměr elipsy

Mějme rovnoběžné sečny elipsy. Středy těchto sečen tvoří úsečku procházející středem elipsy. Tuto

úsečku nazveme průměr.

Hyperbola
Def.: Množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů (ohnisek) stálý rozdíl vzdáleností.

r, s . . . asymptoty

a2 + b2 = e2

r : y = −

b

a

x

s : y =