Přehled matiky k maturitě

Metrické úlohy

Využívá se vztahů

u · v = |u| · |v| cos ϕ

u × v = |u| · |v| sin ϕ

Vzdálenost bodu od přímky:

% : ax + by + cz + d = 0
P [p1; p2; p3]

⇒ v =

|ap1 + bp2 + cp3 + d|

√

a2 + b2 + c2

Odchylka dvou přímek:

cos ϕ =

|

u · v|

|

u| · |v|

∨

tg ϕ =

¯

¯

¯

¯

k1 − k2

1 + k1k2

¯

¯

¯

¯ ,

kde

u, v jsou směrové vektory daných přímek a k1, k2 jejich směrnice.

Odchylka přímky a roviny:

π

p

p0

ϕ

σ

n

 1.p∈π⊥σ p0∈π∩σϕ(p;σ)=ϕ(p;p0)

2.

n; p → cos ψ

ψ =

π

2

− ϕ

cos ψ = sin ϕ

sin ϕ =

|

n · p|

|

n| · |p|

Odchylka dvou rovin:
- odchylka jejich normálových vektorů

10.1.5

Geometrie kuželoseček

Vznik: Řez rovinou na kuželové ploše

1. rovina ⊥ k ose kuželové plochy ⇒ kružnice

2. rovina svírá s osou úhel ϕ, pro který platí α < ϕ < 90◦, kde α je úhel, který svírá hrana kužele

s osou ⇒ elipsa

3. rovina svírá s osou úhel α ⇒ parabola

4. rovina svírá s osou úhel ϕ < α ⇒ hyperbola

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

40

Parabola
Def.: Množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu F a přímky d stejnou vzdálenost.
(F 6∈ d)

Zoufalý výkřik slovenského strojvedoucího.

F . . . . . . . . . . . ohnisko
d . . . . . . . . . . . řídící přímka
p = |F, d| . . . poloparametr
2p . . . . . . . . . . parametr

Vrcholová rce paraboly

1.

osa || s osou x:

y2 = 2px

- V [0; 0]

(y − n)2 = 2p(x − m)

- V [m; n]

2.

osa || s osou y:

x2 = 2py

- V [0; 0]

(x − m)2 = 2p(y − n)

- V [m; n]

Obecná rce paraboly

y2 + Ax + By + C = 0
x2 + Ay + Bx + C = 0

A 6= 0

Parametrické vyjádření