Přehled matiky k maturitě

Platí: ∀z, z1, z2 ∈ C

−z = −z,

z1 + z2 = z1 + z2,

z1 · z2 = z1 · z2,

z1

z2

=

µ

z1

z2

¶

, z2 6= 0,

µ

1
z

¶

=

1
z

|z| . . . absolutní hodnota komplexního čísla - vzdálenost od počátku = modul

z

|z|

a

b

 |z|=√a2+b2=√z·z ⇒|z|∈R+

0

|z1 · z2| = |z1| · |z2|

¯

¯

¯

¯

z1

z2

¯

¯

¯

¯ =

|z1|

|z2|

z0 - převrácené číslo k číslu z ⇒ z0 · z = 1

z0 =

a − bi

a2 + b2

31

KAPITOLA 9. KOMPLEXNÍ ČÍSLA

32

9.1.2

Goniometrický tvar komplexního čísla: z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)

Základní operace:

z1 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1)

z2 = |z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2)

1. Sčítání/odčítání - převedeme na algebraický tvar, sečteme/odečteme, převedeme zpět

2. Násobení

z1 · z2 = |z1| · |z2|(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))

3. Dělení

z1

z2

=

|z1|

|z2|

(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2))

1
z

=

1

|z|

(cos ϕ − i sin ϕ), z 6= 0

4. Mocniny

z2 = |z|2(cos(2ϕ) + i sin(2ϕ))
z3 = |z|3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ))

..

.

zn = |z|n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = |z|n(cos ϕ + i sin ϕ)n

⇒

Moivreova věta

9.1.3

Řešení nerovnic

Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině.

|z − (a + bi)| ≤ r

a, b, r ∈ R

Re

a

b

Im

r

|z − (a + bi)| ≤ |z − (c + di)|

c

d

Re

a

b

Im

← osa úsečky

9.1.4

Binomická rovnice

xn − a = 0

x ∈ C, a ∈ C0, n ∈ N2 a = |a|(cos α + i sin α)

xk =

n

q

|a|

µ

cos

α + 2kπ

n

+ i sin

α + 2kπ

n

¶

k ∈ Z

Různá řešení pouze pro k = 0; 1; 2; . . . ; n − 1 → získáme n řešení, jejichž obrazy leží na kružnici

se středem v počátku a poloměrem n

p

|a| a tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníka.

9.1.5

Kvadratické rce s reálnými koeficienty

ax2 + bx + c = 0