Přehled matiky k maturitě

Vlastnosti posloupností

Def.: Posloupnost je rostoucí: ∀r, s ∈ N; r < s ⇒ ar < as

klesajíci: ∀r, s ∈ N; r < s ⇒ ar > as
nerostoucí: ∀r, s ∈ N; r < s ⇒ ar ≥ as
neklesajíci: ∀r, s ∈ N; r < s ⇒ ar ≤ as

Pokud jedna z těchto dvou podmínek platí ⇒ posloupnost monotónní

Věta: Daná posloupnost je rostoucí, jestliže platí: ∀n ∈N; an+1 > an

klesající, jestliže platí: ∀n ∈N; an+1 < an

Posloupnost omezená zdola: ∀n ∈N; ∃d ∈R; an ≥ d

shora: ∀n ∈N; ∃d ∈R; an ≤ d

Posloupnost je omezená právě, když je omezená shora i zdola

alternující posloupnost: střídá se + a −

26

KAPITOLA 8. POSLOUPNOSTI A ŘADY

27

8.1.2

Matematická indukce

Důkaz matematickou indukcí spočívá ve dvou krocích

1. Dané tvrzení platí pro 1 (případně pro nejmenší možné přirozené číslo)

2. Za předpokladu, že vztah platí pro nějaké číslo n, pak tento vztah platí i pro n + 1.

8.1.3

Aritmetická posloupnost

Def.: Posloupnost (an)∞

n=1 se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro

každé přirozené číslo n platí

an+1 = an + d

Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti

an = a1 + (n − 1)d

(a1 + (n − 1)d)∞

n=1

Věta: V aritmetické posloupnosti (an)∞

n=1 s diferencí d platí pro všechna r, s ∈N

as = ar + (s − r)d

Věta: Pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti (an)∞

n=1 tj. a1 + a2 + · · · + an, platí

sn =

n

2

(a1 + an)

8.1.4

Geometrická posloupnost

Def.: Posloupnost (an)∞

n=1 se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že pro

každé přirozené číslo n je

an+1 = an · q

Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.