Přehled matiky k maturitě
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Kapitola 5
Kombinatorika
5.1
Základní vztahy
Kombinatorické pravidlo součinu:
Počet všech uspořádaných k−tic, jejichž první člen lze vybrat n1
způsoby, druhý n2 způsoby (po výběru prvního), . . . až k−tý člen nk způsoby, je roven součinu n1 ·
n2 · . . . · nk.
Kombinatorické pravidlo součtu:
Jsou-li A1; A2; . . . An konečné množiny, které mají po řadě p1; p2; . . . pn
prvků a jsou-li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny sjednocené (A1 ∪ A2 ∪ A3 . . . ∪ An) je
roven p1 + p2 + p3 + · · · + pn.
5.1.1
Variace
Def.: k−členná variace z n prvků je uspořádaná k−tice z těchto prvků tak, že se každý v ní vyskytuje
nejvýše jednou
.
Věta: Počet V (k, n) všech k-členných variací z n prvků je
V (k, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
5.1.2
Permutace
- zvláštní případ variací
Def.: Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků neboli uspořádaná n-tice sestavená
z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou.
P (n) = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n!
0! = 1 definováno!!
5.1.3
Kombinace
Def.: k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se každý
vyskytuje nejvýše jednou.
K(k, n) =
n!
k!(n − k)!
=
Ã
n
k
!
Vlastnosti kombinačních čísel:
1.
¡n
k
¢
=
¡ n
n−k
¢
∀n, k ∈ N; k ≤ n
2.
¡n
k
¢
+
¡ n
k+1
¢
=
¡n+1
k+1
¢
18
KAPITOLA 5. KOMBINATORIKA
19
5.1.4
Pascalův trojúhelník
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
..
.
¡0
0
¢
¡1
0
¢
¡1
1
¢
¡2
0
¢
¡2
1
¢
¡2
2
¢
¡3
0
¢
¡3
1
¢
¡3
2
¢
¡3
3
¢
¡4
0
¢
¡4
1
¢
¡4
2
¢
¡4
3
¢
¡4
4
¢
¡5
0
¢
¡5
1
¢
¡5
2
¢
¡5
3
¢
¡5
4
¢
¡5
5
¢
¡6
0
¢
¡6
1
¢
¡6
2
¢
¡6
3
¢
¡6
4
¢
¡6
5
¢
¡6
6
¢
..
.
n-tý řádek:
¡n
0
¢¡n
1
¢¡n
2
¢
. . .