Přehled matiky k maturitě

x1,2 =

− b ± i

p

|D|

2a

,

pro D < 0.

KAPITOLA 9. KOMPLEXNÍ ČÍSLA

33

Věta: Pro algebraickou rci s reálnými koeficienty anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0 (a0, . . . an ∈ R)
platí: Je-li x1 = a + bi (b 6= 0) kořen této rce, pak také x2 = a − bi je jejím kořenem.

9.1.6

Kvadratické rce s komplexními koeficienty

ax2 + bx + c = 0

x, a, b, c ∈ C

x1,2 =

− b ±

p

|D|(cos

α

2

+ i sin

α

2

)

2a

,

kde D = |D|(cos α + i sin α). V některých případech je lepší představit si

√

D jako komplexní číslo

u + vi a D nepřevádět na goniometrický tvar. Pak dostaneme vztah např.

√

8 + 6i = u + vi a po

postupné úpravě můžeme dosadit do výše zmíněného vztahu jako

x1,2 =

− b ± (u + vi)

2a

.

9.1.7

Reciproké rovnice

Def.: Rce anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0 se nazývá reciproká, právě když ∀i = 0, 1, . . . n platí

ai = an−i, tzv. kladně reciproká

nebo

ai = −an−i, tzv. záporně reciproká.

Věta: Rce anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0 je reciproká, právě když platí:

c je kořen této rce ⇔ 1

c je kořen této rce.

Věta:

1. Každá záporně reciproká rce má kořen +1.

2. Každá záporně reciproká rce sudého a kladně reciproká rce lichého stupně má kořen -1.

Každá reciproká rce se dá převést na kladně reciprokou rci sudého stupně, která se dále řeší:

a0x2k + a1x2k−1 + · · · + akxk + · · · + a1x + a0 = 0 | : xk

a0xk + a1xk−1 + · · · + ak + · · · + a1

1

xk−1

+ a0

1

xk

= 0

a0

µ

xk +

1

xk

¶

+ · · · ak−1

µ

x +

1

x

¶

+ ak = 0

Použitím Lagrangeovy substituce: x + 1