Přehled matiky k maturitě

x = y

x2 + 1

x2 = y

2 − 2

x3 + 1

x3 = y

3 − 3y

..

.

převedeme danou rci na rci k-tého stupně, kterou dále řešíme.

9.1.8

Exponenciální tvar komplexního čísla: z = |z|eiϕ

cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ

⇒

Eulerův vztah

Kapitola 10

Analytická geometrie

10.1

Základní vztahy

10.1.1

Souřadnice

Kartézská soustava souřadnic → přímka - 0x; rovina - 0xy; prostor - 0xyz

x, y, z - souřadné osy

0 - počátek soustavy souřadnic

A[a1, a2, a3]

Transformační rce posunutí:

x0 = x − m

y0 = y − n

Vzdálenost bodů

1. v rovině:

y

x

a1

a2

b1

b2

A

B

 |AB|=p(b1−a1)2+(b2−a2)2

2. v prostoru:

|AB| =

p

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2

Střed úsečky:

1. na přímce:

S

·

a + b

2

¸

2. v rovině

y

x

a1

a2

b1

b2

A

B

S

 S·a1+b12;a2+b22¸

34

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

35

3. v prostoru

S

·

a1 + b1

2

;

a2 + b2

2

;

a3 + b3

2

¸

10.1.2

Vektory

- orientované úsečky dané velikostí a směrem

A

B

AB
A. . . počáteční bod
B. . . koncový bod

nulový vektor

|

AB| = 0

Orientované úsečky AB a CD určují týž vektor právě tehdy, když AD a BC mají společný střed.

A

B

C

D

S

Jestliže jsou dva vektory rovnoběžné, pak jsou kolineární (souhlasně/nesouhlasně)

Polohový vektor

→ počáteční bod v počátku soustavy souřadnic

y

x

a1

a2

b1

b2

A

B

 u=(b1−a1,b2−a2)=(u1,u2)m

u = B − A

u1=b1−a1 u2=b2−a2

Sčítání vektorů

u + v = C − A
u(u1; u2; u3) v(v1; v2; v3)

→

u + v = (u1 + v1; u2 + v2; u3 + v3)

u

v

u + v

A

B

C

Rozdíl vektorů

u

v

-

v

u - v

A

B

C

C0

 u−v=(u1−v1;u2−v2;u3−v3)

Lineární kombinace vektorů

Věta: Vektor a

u + bv + cw, kde a, b, c ∈R; se nazývá lineární kombinací vektorů u; v; w.

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

36

Skalární součin vektorů

velikost vektoru:
d(d1; d2; d3)

→

|

d| =

q

d21 + d22 + d23

AB(b1 − a1; b2 − a2; b3 − a3)