Přehled matiky k maturitě

→

|

AB| =

p

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2

jednotkový vektor

→ |

d| = 1

Skalární součin vektorů

u(u1; u2; u3) a v(v1; v2; v3)

u ·v= u1v1 + u2v2 + u3v3

⇓

je to skalár (číslo)

u2 = |u|2
∀

u, v, w;

u · v = v · u
(c ·

u)v = c(u · v)

w(u + v) = wu + wv

∀

a, b, c, d; (a + b)(c + d) =ac + ad + bc + bd

(

a ± b)2 = a2 + b2 ± 2ab

Odchylka dvou vektorů

cos ϕ = u

·

v

|

u| · |v|

, pro |

u|, |v| 6= 0

cosinova věta |

a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 2|a||b| cos ϕ

Vektorový součin

u × v = w

u(u1; u2; u3) v(v1; v2; v3)

w =

ï

¯

¯

¯

¯

u2 u3

v2 v3

¯

¯

¯

¯

¯

; −

¯

¯

¯

¯

¯

u1 u3

v1 v3

¯

¯

¯

¯

¯

;

¯

¯

¯

¯

¯

u1 u2

v1 v2

¯

¯

¯

¯

¯

!

−(

u × v) = v × u

Pro

u × v = w platí:

1.

w⊥u, v

2.

u, v, w tvoří pravotočivou bázi

3. |

w| = |u| · |v| · sin α

Číselná hodnota |

u × v| odpovídá číselné hodnotě plochy rovnoběžníka.

Objem rovnoběžnostěnu určíme jako součin V = |(

a × b) · c|, kde a, b, c jsou velikosti stran. Tento

součin nazýváme smíšený.

Platí cyklická záměna: V = (

a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b

a × (b + c) = a × b + a × c
a × (mb) = (ma) × b = m(a × b)

KAPITOLA 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

37

10.1.3

Geometrie v rovině

Parametrické vyjádření přímky

a1

a2

A

X

x

y

u

 X=A+t·u⇒ x=a1+t·u1y=a2+t·u2t∈R

Těžiště 4: T =

1
3

(A + B + C)

tx=

1
3

(ax+bx+cx)

ty=

1
3

(ay+by+cy)

p k q

⇔

u = k · v

p = q

⇔

u = k · v ∧ p ∩ q 6= ∅

Obecná rce přímky

- pouze v rovině

ax + by + c = 0,

kde alespoň jedno z čísel a, b 6= 0 se nazývá obecná rce přímky.

Platí:

n(a; b)

→ normálový vektor